در سال 1955 سینگر و ورمر [32] اثبات کردند که : برد هر اشتقال کراندار بر یک جبر باناخ جابجایی در داخل رادیکال ژاکوبسون آن قرار می گیرد. که به قضیه سینگر-ورمر شهرت یافت. در سال 1988 توماس [34] قضیه سینگر-ورمر را با حذف شرط کراندار بودن هر اشتقاق، تعمیم داد که به حدس سینگر-ورمر شهرت دارد. در سال 1991 ماتیو و مورفی [23] نشان دادند که قضیه کلینیک -شیرکوف (قضیه 2-3-5) برای هر اشتقاق کراندار دلخواهی (نه لزوما اشتقاق درونی) برقرار است. توماس [33] در سال 1993 نشان داد که اگر d یک اشتقاق بر جبر باناخ a باشد و به ازای d2(a)=o, آنگاه : چون برد هر اشتقاق d روی a که به ازای هر را به توی rad (a) می نگارد (به مراجع [32] و [35] مراجعه کنید) لذا نتیجه اخیر توماس یک حالت کلی پیشنهاد می کند "اگر به ازای هر . هدف این پایان نامه بررسی حالت کلی بدست آمده از نتیجه توماس در مورد اشتقاق های جردن و اشتقاق های چپ جردن جبرهای باناخ می باشد.