در این رساله ابتدا چندجمله ای های متعامد، چندجمله ای های نامتعامد ‎(برنشتاین)‎ و برخی از خواص آن ها و هم چنین روش طیفی و شبه طیفی مختصراً شرح داده شده است. سپس، روش شبه طیفی چبیشف، برای حل یک مسأله ی مقدار مرزی غیرخطی به کار گرفته شده است‎.‎ در ادامه، پایه جدید برنشتاین کسری معرفی شده و پس از بیان تعاریف و مقدمات لازم برای مشتق مرتبه ی کسری کاپوتو و انتگرال مرتبه ی کسری ریمان لیوویل، ماتریس های عملیاتی جدید مشتق کسری براساس پایه جدید ارائه شده است‎.‎ هم چنین با توجه به روابط موجود بین چندجمله ای های لژاندر و چندجمله ای های برنشتاین، ماتریس های عملیاتی مشتق کسری مجدداً بدست آمده اند‎.‎ با به کار بردن ماتریس های بدست آمده و روش طیفی جواب های تقریبی چند معادله ی دیفرانسیل کسری به دست آمده است. ‎‎ ماتریس های مشتق مرتبه ی بالا براساس پایه های برنشتاین معرفی و برای یافتن جواب های معادله ی بدوضع گرما، به کار گرفته شده است. در پایان با کمک آنالیز ریاضیات ابرمختلط و روش طیفی، جواب های تحلیلی و عددی چند مسأله با مشتقات جزئی ارائه شده است. در همه ی مسائل‏، دقت جواب های تقریبی به دست آمده در مقایسه با جواب دقیق، بررسی شده است. }