در این پایان نامه، خانواده ای از روش های چند گامی خطی، به عنوان روش های مقدار مرزی برای حل عددی مسائل مقدار اولیه ی معادلات دیفرانسیل مرتبه ی دوم نوع خاص، معرفی می شود. معمولا ثابت می شود که این نوع روش ها ‎-p‎پایدار از مرتبه ی بالای دلخواه هستند و این خصوصیت بر محدودیتی که لامبرت و واتسون بر روش های چند گامی خطی ثابت کرده اند، غلبه می کند. دسته روش جدید pgscms نامیده می شود که مخفف روش های تعمیم یافته ی ‎-pv‎پایدار از نوع استورمر-کاول است. مثال های عددی که در انتهای پایان نامه ارائه شده اند، نتایج تئوری روش را تایید می کنند.

در این پایان نامه روش های اصلاح خطا ی تک گامی نیمه صریحecm)‎)از مرتبه ی بالا برای حل مسائل مقدار اولیه توسعه داده می شوند.‎‎‎ecm ‎ همگرایی بالا از مرتبه ی‎‎ را بدون هیچگونه فرآیند تکراری‏، که در اکثر روش های ضمنی نیاز است‏، فراهم می آورد. این کار با ساختن یک تقریب موضعی با خطای باقیمانده از مرتبه ی در هر گام زمانی امکان پذیر است. به عنوان مثال، یک تقریب درجه ی دو موضعی ساخته می شود. علاوه براین، نشان داده می شود که انتخاب پارامتر های خاص برای چندجمله ای درجه ی دو موضعی منجر به روش های مرتبه ی دو صریح معروف می شود که می تواند به ‎ecm‎ نیمه صریح از مرتبه ی دقت شش توسعه داده شود. تابع پایداری نیز برای این روش به دست آورده می شود و چند مسئله ی سخت و غیر سخت برای تایید نتایج تحلیلی ارائه می شود. یادآوری می شود که ‎ecm‎ توسعه یافته در اینجا روش های صریح را نتیجه می دهد. بلکه روش های نیمه ضمنی از نوع رزنبراک را می دهد. در هر دو روش ‎ecm‎ و رزنبراک نیاز است که در هر گام چند دستگاه خطی حل شود. اما باید خاطر نشان شود که ‎ecm‎ در هر تکرار ‎2p+2‎ برآورد از ماتریس ژاکوبی دارد در حالیکه در روش رزنبراک تنها یک برآورد نیاز است. با این وجود به دست آوردن روش های از مرتبه ی بالا با استفاده از ‎‎‎‎ecm‎‎ ساده تر است.