مجوعه ی احاطه گر دوبدودر گراف ها اولین بار توسط هینس و اسلتر در سال 1998 به عنوان الگویی برای گرفتن پشتیبان وحفاظت از اهداف محرمانه ارائه شد. جان مک کوی ومیچل هنینگ درسال2009 دو مفهوم مکان یابی و مجموعه ی احاطه گر دوبدو را ترکیب کردند و سه تعریف جدید مجموعه های احاطه گر دوبدو مکان یابی ومجموعه های احاطه گر دوبدو مشتق پذیر و مجموعه های احاطه گر دوبدو متریک را ارائه کردند. در این پایان نامه، فصل اول شامل تعاریف مقدماتی از گراف ها است و در فصل دوم پس از تعریف احاطه گر دوبدو ، تام ،همبندو اختصاصی،به مقایسه وبررسی بعضی از خواص وکران های آن ها پرداخته ایم ودر انتهای این فصل تحقّق پذیری (? ,?_t ,?_p ) و گراف های مکمل رابیان کرده ایم.فصل سوم شامل معرفی و برخی خواص احاطه گر مکان یابی،احاطه گر تام مکان یابی و احاطه گر تام مشتق پذیر است.فصل چهارم ابتدا به بررسی ترکیب احاطه گر دوبدو و مکان یابی و خواص و کران های آن ها پرداخته و سپس احاطه گر دوبدو مشتق پذیر و احاطه گر دوبدو مکان یابی متریک را معرفی کرده و در انتها، برخی را با هم مقایسه کرده ایم.