فرض کنید w یک گروه و w=(s) که در آن s = {s1,. . sn | (sisj)mij = 1, 1 ? i,j ? n} و m_ij in z و به ازای هر i, m_ij= 1 در این صورت گروه w را یک گروه کاکستر می نامیم. هر یک از s_i ها را انعکاس نامیم و مجموعه ی همه ی انعکاس ها را به صورت زیر نشان میدهیم. t= {wsw-1 : w in w , sin s} هم چنین فرض کنید w یک گروه و s زیر مجموعه ی کیلی از آن باشد. در این صورت گراف کیلی w نسبت به s را که با gamma(w,s) نشان میدهیم ، دارای مجموعه ی رئوس v(gamma)=w و مجموعه ی یال های e(?gamma) = {{w, xw} : w in? w, x in? x}. است. اکنون تابع طول را تعریف میکنیم. هر winw رامیتوان به صورت حاصلضربی از عناصر t نوشت(به همین ترتیب حاصل ضربی از عناصر s )در اینصورت کمترین تعداد انعکاس ها را باl_t (به همین ترتیب l_s )نشان میدهیم که به ترتیب طول مطلق و ضعیف مینامیم.در واقع تابع طول تابعی از اعضای w به اعداد صحیح است که در آن l(w)=l(w^-1)و l(w)=0 اگرw=1 .اکنون دو نوع ترتیب روی w تعریف میکنیم که ترتیب چپ و راست ضعیف (به همین ترتیب مطلق)نام دارند.ترتیب راست روی w به صورت زیر تعریف میشود: u?rvlongleftrightarrow‎l(u)+l(u^-1v)=l(v).ترتیب چپ ضعیف نیز به صورت زیر تعریف میشود: u ? l v longleftrightarrow‎ ? v^-1 ?r u^-1 .دو دسته گراف کیلی باتوجه به ترتیب ضعیف و قوی روی w تعریف میشود. گراف کیلی مرتب مطلق را با gamma(w,t) و گراف کیلی مرتب ضعیف را با gamma(w,s) نشان می دهیم. طیف فاصله ی گراف gamma طیف ماترس d_gamma است که در آن درایه ی (u,v) کوتاه ترین فاصله بین u,u است . در این پایان نامه مفهوم گراف های کیلی ، گروه های کاکستر و خواص آن و گراف کیلی روی گروه های کاکستر را بررسی می کنیم.