فاصله فرشه یک معیار اندازه گیری تشابه بین دو منحنی $a$ و $b$ است. به طور غیر رسمی، فاصله فرشه بین دو منحنی $a$ و $b$ طول کوتاه ترین قلاده ای است که برای وصل کردن یک سگ، که در امتداد $a$، و صاحبش، در امتداد $b$، حرکت می کنند، لازم است، به گونه ای که آن ها بدون بازگشت به عقب در امتداد منحنی‎ های مربوطه شان از یک نقطه انتهایی به نقطه انتهایی دیگر راه می روند. مزیت این اندازه گیری نسبت به اندازه گیری های دیگر مانند فاصله هاسدورف این است که این فاصله ترتیب نقاط در امتداد منحنی ها را در نظر می گیرد. فاصله فرشه گسسته، سگ و صاحبش را با یک جفت قورباغه که فقط می توانند روی $m$ و $n$ سنگ ریزه مشخص شده روی $a$ و $b$ حرکت کنند، عوض می کند. این قورباغه ها از یک سنگ ریزه به روی دیگری بدون بازگشت به عقب می پرند. فاصله فرشه می تواند با یک الگوریتم برنامه ریزی پویای با مرتبه زمانی نسبتا سرراست مربعی نسبت به اندازه مجموعه بزرگ تر از نظر تعداد نقاط، محاسبه شود. در این پایان نامه، ما یک الگوریتم زیرمربعی را برای محاسبه فاصله فرشه گسسته بین دو دنباله $a$ و $b$ از نقاط روی صفحه، با تعداد نقاط متناظر $m$ و $ n$ مطالعه می کنیم. الگوریتم در زمان $o(frac{mnloglog n}{log n})$ با شرط $mleq n$ اجرا می شود و از فضای $o(m+n)$ استفاده می کند. روش مطالعه شده، هندسه مساله را در یک راه دقیق برای رمز کردن موقعیت های قانونی قورباغه ها به عنوان حالت های یک اتوماتای متناهی استفاده می کند.