فرض‎‎کنید g‎ یک گراف ساد? متناهی با n‎ رأس بوده و r = k[x1 , ... , xn]‎ حلق? چندجمله‎ایها روی میدان k‎ باشد بطوریکه ‎i(g)‎ ایده‎آل یالی و ‎i(g)^?‎ الکساندر دوآل ایده‎آل یالی است. در این پایان‎نامه، نشان داده می‎‎شود که دورهای القایی فرد در گراف g‎ را می‎توان از ایده‎آل‎های اول وابست? 2 ^(i(g)?‎)‎بدست آورد که روشی را جهت تعیین دور‎‎های القایی فرد از طریق اعمال جبری روی یک ایده‎آل نظیر اشتراک، حاصل‎‎ضرب و حاصل‎تقسیم، نتیجه می‎دهد. علاوه براین حدسی را برای ساختن گراف‎های (‎s+1)– رنگ‎پذیر بحرانی از گراف‎های s‎ – رنگ‎‎پذیر بحرانی معرفی می‎کنیم و نشان می‎‎دهیم که اگر این حدس، برای هر عدد طبیعی ‎s‎ برقرار باشد آنگاه هر ایده‎آل تک‎جمله‎ای آزاد از مربع ناآمیخته با ارتفاع 2‎ در حلق? ‎r‎ مانند ‎i‎، یعنی ایده‎آل پوششی گراف ‎g‎، دارای خاصیت پایا می‎باشد، به عبارت دیگر به ازای هر عدد طبیعی ‎s‎، ایده آلهای اول وابسته (r/(i^s زیر مجموعه ایده آلهای اول وابسته ((r/(i^(s+1 است. همچنین بطور جبری ثابت می‎‎شود که این حدس برقرار است اگر عدد رنگی کسری ‎g‎ ، x_(f)(g)‎، در رابط? (x(g) -1<x_(f)(g)<=x(g صدق کند. ‎