از دیر بازمحققین زیادی تلاش کرده اند که محک هایی را برای تک ارزی توابع تحلیلی ارائه دهند. در این پایان نامه سعی شده است که راهکارهای جدیدی را برای تک ارزی توابع تحلیلی ارائه دهیم. به علاوه ، هدف از تدوین این پایان نامه پیدا کردن محک هایی برای توابع ستاره گون است، که باعث می شود اطلاعات جدیدی برای توابع بطور یکنواخت محدب وتبدیل انتگرال برنالدی را بدست آوریم. این موضوع اولین بار توسط ویسینگ وپاناسومی مورد مطالعه قرار گرفته است و ما در این پایان نامه سعی می کنیم مقاله آنها را مورد بررسی قرار دهیم.