آنالیز غیر خطی یکی از شاخه های رشته ریاضی است که اهمیت آن بر هیچ ریاضیدانی پوشیده نیست. لذا توجه دانشمندان زیادی را به خود جلب نموده است. این شاخه، در علوم دیگر از جمله گرایش های مهندسی و فیزیک کاربرد فراوان دارد و این به زیبایی و اهمیت آن افزوده است. به عنوان مثال می توان به مبحث نامساوی هااشاره نمود که امروزه دیده می شود دانشمندان زیادی دراین زمینه تحقیق و پژوهش می کنند. یکی دیگر از موضوعات مهم و بسیار پرکاربرد در شاخه آنالیز غیرخطی می توان‎ نظریه پایداری ‎را نام برد که در علم فیزیک از جمله کوانتوم کاربرد زیادی دارد. این مفهوم اولین بار توسط دانشمندی به نام اولام با طرح یک سوال آغاز گردید که با پاسخ ریاضیدان دیگری به نام‎ هایرزمنجر به پیدایش مفهوم جدیدی تحت عنوان پایداری هایرز - اولام گردید که امروزه برخی دانشمندان ریاضی جهان در این زمینه به پژوهش پرداخته اند. گسترده بودن این موضوع از شاخه آنالیز غیرخطی، به اهمیت و زیبایی آن افزوده است، چرا که با شاخه های آنالیز هارمونیک، آنالیز تابعی، آنالیز مختلط و دیگر شاخه ها می تواند ارتباط پیدا کند. به جزئیات تاریخچه مبحث پایداری در بخش دوم از فصل اول پرداخته شده است. یکی از مباحث مهم و اساسی در شاخه ریاضیات را می توان مشتق ها نام برد که دانشمندان زیادی در مورد توسیع آنها و پیوستگی خودکار آنها تحقیق نموده اند و مقالات فراوانی را به چاپ رسانده اند. حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا می توان مبحث مشتق را در آنالیز غیرخطی جای داد؟ در این پایان نامه به این سوال پاسخ می دهیم و از آن تحت عنوان مشتق های تقریبی یاد می کنیم. شایان ذکر است که در این زمینه تحقیقاتی توسط دیگران هم صورت پذیرفته است. ما در اینجا به مفاهیم جدید و جالبی دست خواهیم یافت. این پایان نامه پیرامون مشتق های تقریبی و توسیع آنها بحث می کند و فصل های آن به شرح زیر است: در فصل اول به یادآوری مطالب با عنوان مفاهیم اولیه می پردازیم که در فصول آتی مورد استفاده قرار می گیرند و سعی شده است تنها مواردی که در فصول بعدی نیاز است مورد بررسی و مطالعه قرار گیرد. از آوردن برهان و مطالب اضافی خودداری شده و برای درک و فهم بهتر مطالب، به ذکر منابع مورد نظر پرداخته می شود. در فصل دوم، g- مشتق های تقریبی را تعریف می کنیم و ارتباط آن را با g- مشتق ها بیان می کنیم. همچنین با ذکر شرایطی، پیوستگی خودکار g- مشتق های تقریبی را ثابت می کنیم. فصل سوم اختصاص به مشتق های توسیع یافته تقریبی دارد که شامل پنج بخش می باشد. در بخش اول نکات و توضیحاتی با عنوان مقدمه درمورد مشتق های توسیع یافته بیان می داریم و پس از آن در بخش دوم مشتق های توسیع یافته روی *c - مدول های هیلبرت تعریف می کنیم و با اثبات دو لم اساسی مفهوم پایداری برای این تعریف جدید وابسته به معادله کوشی - جنسن تعمیم یافته از نوع پکسیدر مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. در بخش سوم به بحث n - مشتق ها و n‎ - مشتق های جردن روی جبرهای باناخ می پردازیم و در این مورد به چند مثال هم اشاره خواهیم کرد. در بخش چهارم تحت شرایطی نشان می دهیم که یک مشتق جردن توسیع یافته تقریبی می تواند یک مشتق جردن توسیع یافته باشد. بالاخره در بخش آخر این فصل، یک تعریف برای (n,k)- مشتق های توسیع یافته انجام می دهیم و پایداری آن را بررسی می کنیم. همچنین به کمک توسیع مدول ها یک اثبات جالب برای پایداری مشتق ها بیان می داریم. فصل چهارم چهار بخش را در بردارد که در بخش اول مقدماتی را در مورد مشتق های دو طرفه بیان می کنیم. سپس در بخش دوم، به بحث مشتق های دو طرفه تقریبی روی جبرهای باناخ می پردازیم. در بخش سوم مشتق های دو طرفه تقریبی روی جبرهای باناخ فازی به روش نقطه ثابت را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین، تعریف جدید برای مشتق های دو طرفه تقریبی روی جبرهای باناخ فازی ارائه می دهیم و ارتباط آن با مشتق های دو طرفه روی جبرهای باناخ فازی مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. سرانجام در بخش آخر این فصل، بررسی *- مشتق های دو طرفه تقریبی به همراه پایداری آنها روی *c- جبرها در دستور کار قرار می دهیم.