در این پایان نامه توابع مفصل و برآورد احتمال پیشامدهای کمیاب را به وسیله مفصل بیضوی بررسی می کنیم . یک پیشامد کمیاب با احتمال خیلی کوچک رخ می دهد ولی ممکن است خیلی زیاد هزینه داشته باشد نحوهی مدل بندی و برآورد احتمال کوچک رخ می دهد ولی ممکن است خیلی زیاد هزینه داشته باشد نحوه ی مدل بندی و برآورد احتمال کوچک این پیشامد برای صنعت بیمه حایز اهمیت است. بر پایه نظریه ی مقدار کرانگین روش هایی پیششنهاد شده است تا داده ها را در یک ناحیه درمی برون یابی توزیع چند متغیر و نحوه انتخاب آستانه برای توابع حاشیه ای و تابع وابستگی دنباله ای به وجود می آید در این پایان نامه روشی را برای برآورد احتمال پیشامدهای کمیاب با استفاده از مدل بندی توابع حاشیه ای وابستگی بین توزیع دم کلفت و مفصل های بیضوی فراهم شده است بعلاوه از روش های انتخاب آستانه برای انتخاب میزان پارامترها به طور خودکار استفاده خواهیم کرد.

در این رساله به پژوهش در زمینه ی اجزا و مولفه های رمزهای متقارن پرداخته ایم. در ابتدا عملگرهای جمع و ضرب و نیز نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را بررسی کرده ایم: توزیع احتمال چندگانه ی بیت های نقلی عملگر جمع را محاسبه کرده، درجه ی جبری و تعداد جملات در ‎anf‎ نگاشت جمع با یک ثابت را به دست آورده ایم. توزیع احتمال چندگانه ی توابع مولفه ای عملگر ضرب را ‏محاسبه کرده ایم. پس از ارائه ی معیاری جهت بررسی ناترازی نگاشت ها، ناترازی عملگر ضرب و نیز ناترازی تحدید این عملگر به بیت های بالایی آن را محاسبه کرده ایم؛ نیز کرانی پایینی برای درجه ی جبری توابع مولفه ای عملگر ضرب ارائه داده ایم. توزیع احتمال توابع مولفه ای نگاشت مجذور به هنگ توانی از دو را به دست آورده و با استفاده از معیار معرفی شده، ناترازی نگاشت مجذور و توابع مولفه ای آن را محاسبه نموده ایم. در ادامه، توابع دودویی برداری را مطالعه کرده ایم. ابتدا حملات خطی و تفاضلی و تعمیم های آنها از منظر ریاضی را بررسی کرده و علاوه بر تبیین مبانی ریاضی حملات خطی و تفاضلی سنتی، ویژگی های خطی-تفاضلی و نیز خواص دوبعدی خطی و ناخطی جدیدی را برای ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن ارائه نموده ایم. سپس، به ساخت ‎sbox‎ های ‎16‎- بیتی با ویژگی های جبری و آماری مطلوب از دیدگاه رمزنگاری و با قابلیت پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن پرداخته ایم؛ نیز روش هایی جهت تصادفی سازی ‎sbox‎ ها و مولفه های رمزهای متقارن، بر اساس ‎iv‎، ارائه داده ایم. در ادامه به بررسی لایه های انتشار mds‎ پرداخته و انواع جدیدی از لایه های انتشار خطی، خطی سرشت و ناخطی را ارائه نموده ایم. خانواده ای از لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds از مرتبه ی 4 را ساخته و بر اساس آن، روشی جهت تصادفی سازی لایه های انتشار خطی سرشت سنتی ارائه کرده ایم. پس از آن لایه های انتشار ‎mds‎ ناخطی با قابلیت پیاده سازی بهینه در پردازنده های مدرن را مورد مطالعه قرار داده، خانواده ای از لایه های انتشار ناخطی ارائه کرده ایم: به کمک این خانواده، می توان لایه های انتشار با اندازه ی بزرگ و پیاده سازی مطلوب در پردازنده های مدرن ساخت؛ همچنین این خانواده از لایه های انتشار، قابلیت تصادفی سازی بر اساس ‎iv‎ در رمزهای متقارن را دارد. سپس به لایه های انتشار با درایه های صفر و یک پرداخته و قضیه ای را در این حوزه اثبات نموده ایم. پس از آن لایه های انتشار خطی سرشت mds رمزهای متقارن loiss‎ ،sms4 و ‎zuc‎ را بررسی کرده، شکل ماتریسی این لایه های انتشار را ارائه داده ایم. در پایان با استفاده از مدول ها روی حلقه های متناهی جابجایی و یک دار، به ساخت لایه های انتشار خطی سرشت و ناخطی جدید با استفاده از عملگرهای جمع و ضرب پیمانه ای پرداخته ایم و نیز لایه های انتشار خطی سرشت ‎mds‎ بهینه از دیدگاه پیاده سازی را ارائه نموده ایم.