روابط ضمنی جهات متناوب (adi) رده ای از الگوریتم های بسیار کارا برای حل عددی معادلات دیفرانسیسل هستند. روباط سینک-گلرکین یک پایه سینک را برای تولید جواب های تقریبی به طور نمایی دقیق برای معادلات دیفرانسیل حتی در حالتی که منفرد باشند، به کار می گیرند. این پایان نامه را با مرور کلی روش های سینک برای مسایل مبتنی در هر دو حالت دامنه های یک بعدی و دو بعدی متناهی و نامتناهی شروع می کنیم. سپس به معرفی نوعی از روش های تفاضلات متناهی که منجر به مقدمه ای از روش جدید جهات متناوب سینک-گلرکین مبتنی بر رابطه adi کلاسیک برای یک دستگاه ماتریسی خطی می پردازیم. توجه کنید که دستگاه ماتریسی حاصل از اعمال روش سینک-گلرکین بر معادله پواسن یک معادله ی سیلوستر است. در حالت کلی مسایل مدل adl را بررسی کرده و سپس ثابت می کنیم معادله ی سیلوستر حاصل از اعمال روش سینک-گلرکین متقارن به عنوان یک مسیله مدل adl رده بندی می شود. سرانجام روش جهات متناوب سینک –گلرکین adsg را برای معادله ی سیلوستر بدست می اوریم. به خصوص به خاطر اجتناب از محاسبات پر هزینه مقدار ویژه از پارامتر تکراری ثابت استفاده می شود در پایان با به کارگیری روش adsg روی مسایل تنوعی مقایسه ای بین کارایی روش استاندارد و روش با جمع کرونکر، ضرب کرونکر و عملگر تسلسلی انجام می شود.