روش جدید جهت بررسی عملگر لیوویل، l ، برای پتانسیل های هماهنگ ساده ارا میشود. برای پتانسیل های هماهنگ ساده یک ، دو و سه بعدی عملگرهای تقارنی (جابجا پذیر l) مشخص میباشند. نمایش ماتریسی غیر متداولی برای عده زیادی از عملگرها ارائه میگردد. این نمایش ها برای هامیلتونی کوانتمی، h ، عملگر لیوویل، و عملگرهای تقارنی آنها برای نوسانگرهای هماهنگ یک ، دو و سه بعدی داده میشود. علاوه بر آن وجود روابط ساده ای بین نمایش ها را نشان میدهیم، که خود ما را قادر به بدست آوردن توابع ویژه l مینماید. این روابط همچنین عملگرهای تقارنی l را به دو دسته تقسیم میکند که یکی از آنها تعمیم عملگرهای تقارنی h به فضای فاز میباشد. همچنین نشان میدهیم این نمایش ها مولد تبدیلات تقارنی در فضای مختصات میباشند. این امر باعث مشخص نمودن هر عملگر تقارنی بعنوان مولد مربوطه در فضای توابع میشود . در پایان عملگرهای نردبانی جدیدی را تعریف نموده و با استفاده از آنها مجموعه کامل (ناتبهگن) توابع و مقادیر ویژه l را در سه بعد تعیین میکنیم . همچنین تقارن وارونگی این مجموعه را بررسی مینمائیم .