پتانسیل ریس کلاسی?ک به عنوان یک? ابزار تکنیکی? مهم در آنالیز و کاربردهای آن شناخته شده است. در? حقیقت کنوولوشن ?تابع با هسته {? 0 < ? < n , |x|^{??n?در {?،r^{n? پتانسیل ریس نامیده می شود که توسط? بسیاری از ریاضیدان ها از جهات مختلف مورد بررسی قرار گرفته شده است. در این پایان نامه، همگرایی پتانسیل? ریس و برخی از تعمیم های آن زمانی که 0? ? ،??مطالعه شده است.? ?فصل مقدمه شامل برخی یادآوری ها از جمله تعاریفی از تبدیل فوریه، مدول پیوستگی? ?تابع، تابع گاما و? برخی خواص آنها و نیز یادآوری برخی از نامساوی های مهم و تعمیمی از آن ها می باشد.? ?در فصول دوم و سوم پایان نامه پتانسیل ریس و تعمیمی از آن را به عنوان خانواده ای از عملگرهای مثبت خط? معرفی کرده و نیز همگرایی نقطه به نقطه و یکنواخت آن ها به یک? ?تابع را بررسی می کنیم. فصل سوم این پایان نامه? به بررسی مرتبه ی همگرایی پتانسیل های ریس نیز اختصاص دارد.? ?در فصل چهارم به معرفی ، وجود و پیوستگی تعمیم خاصی از پتانسیل های ریس خواهیم پرداخت و در نهایت? ?در فصل پنجم همگرایی حالت خاصی از پتانسیل معرفی شده در فصل چهار را مورد بررسی قرار می دهیم.?

فرآیندهای تقریب مثبت، نقش اساسی در نظریه ی تقریب ریاضیات کلاسیک بازی می کند. در سال 1953 کاروکین معیار و محک بسیار ساده و کارایی را برای تعیین همگرایی عملگرهای مثبت خطی ارائه داد. بعد از کاروکین ریاضیدان های بسیاری برای تعمیم این قضیه به فضاهای مختلف و مجردتر تلاش کردند که در تمام نتایج به دست آمده تا سال 1994 گردآوری شده است. از طرف دیگر در سال 1965، نظریه ی منطق فازی توسط پرفسور لطفی زاده ارائه شد که در سال های اخیر ریاضیدان های بسیاری تلاش کردند که مفاهیم کلاسیک را با زبان فازی بیان کنند. در این راستا آنستازیو نتایج بسیار مهم و جالبی دارد و نتایج کلاسیک تقریب به کمک عملگرهای مثبت خطی را برای ریاضیات فازی تعمیم داده است از جمله قضایای کاروکین و از نوع کاروکین را با ارائه ی مفهوم همگرایی فازی توابع پیوسته ی فازی و توابع مثلثاتی فازی تعمیم داد. در این تحقیق، نتایج کلاسیک تقریب توسط عملگرهای مثبت خطی و تعمیم این نتایج به حالت فازی بررسی شده است که مبتنی بر کارهای آنستازیو می باشد. این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است. در فصل اول تعاریف و مفاهیم اولیه ی نظریه ی تقریب و ریاضیات فازی مورد استفاده در فصل های بعد بیان شده است. از جمله ی این تعاریف و مفاهیم عملگرهای مثبت خطی، مدول پیوستگی، مجموعه های فازی، r-برش ها، اعداد فازی، عملگرهای فازی مثبت خطی و مدول پیوستگی فازی می باشند. در فصل دوم به بیان قضیه ی کاروکین و حالت تعمیم یافته ی آن در ریاضیات فازی می پردازیم. برای این منظور نامساوی شیشا-موند کلاسیک و فازی را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. فصل سوم به بیان قضیه ی کاروکین مثلثاتی فازی و عملگر جکسون فازی می پردازد. برای این هدف نامساوی شیشا-موند مثلثاتی فازی و کلاسیک آن و انتگرال پذیری ریمان فازی بیان می شود. در فصل چهارم مفهوم همگرایی فازی دنباله ای از عملگرهای فازی مثبت خطی مورد بررسی قرار می گیرد که قضایای از نوع کاروکین فازی و نامساوی شیشا-موند فازی بررسی شده است. همچنین در این فصل با مفاهیمی مانند سری های فازی، توابع هم پیوسته ی فازی، اندازه پذیری و انتگرال پذیری فازی و قضیه ی نمایش ریس فازی آشنا می شویم.

هدف این پایان نامه معرفی همگرایی در اندازه آماری است که شامل تمام انواع همگرایی آماری می باشد و ارائه تجزیه جردن برای اندازه های به طور متناهی جمعی است. این را به کمک تعمیم های همگرایی آماری-همگرایی ایده آلی که کلی ترین حالت همگرایی آماری است را با بکارگیری آنالیز توابع هندسی و نظریه فضای باناخ انجام می دهند. در بخش های بعدی نشان می دهیم که برای هر ایده آل در این صورت همگرایی ایده آلی با همگرایی در اندازهs معادل است. و عکس آن نیز برقرار است. است. با تحقیق توصیفی تجزیه، در فصل چهارم ابتدا خواص شبکه باناخ را با استفاده از آنالیز توابع هندسی و نظریه فضاهای باناخ مطرح می کنیم، سپس طبقه بندی تجزیه جردن و تقریبی از قضیه تجزیه جردن برای اندازه های به طور متناهی جمعی را ارائه می دهیم.در آخر، نشان می دهیم که قضیه و طبقه بندی اشاره شده برای هر اندازه به طور متناهی جمعی در حالت کلی در فضاهای اندازه پذیر برقرار است