بارسلون در سال 1983 برای اولین بار مسائل معکوس معادله اشتورم - لیوویل را مورد مطالعه قرار دادند که ایشان برای اثبات فرمول بارسلون برای معادلات سیم از کسرهای مسلسل استیل - ژس استفاده نموده اند. فرمول اثبات شده توسط بارسلون برای این منظور است که جنس سیم با استفاده از این فرمول تعیین گردد تا صدای دلخواه از آن تولید شود‎.‎ هدف این پایان نامه، استفاده از مسائل معکوس معادلات اشتورم - لیوویل و به کار بردن دو طیف از معادلات سیم برای اثبات فرمول سابق بارسلون به شکل جدیدی می باشد. در سراسر این پایان نامه‏، تابع چگالی معادله سیم همواره پیوسته فرض شده است و این فرمول با تابع چگالی پیوسته در یک نقطه انفصال از یک بازه متناهی به دست می آید.‎ در نهایت با استفاده از فرم مجانبی جواب های مسائل مقدار اولیه و فرم مجانبی طیف های معادلات سیم، فرمول بارسلون را برای سیمی با تابع چگالی پیوسته تکه ای اثبات می کنیم.