وجود و منحصر به فردی جواب یک معادله استیفن تک فازی برای معادله گرمای غیرکلاسیک برای فضای نیمه متناهی با شرط مرزی انتقال درحالت ثابت ‎$x=0$‎ که محدود به زمان است را ثابت می کنیم. در اینجا منبع گرما به دما در رویه ثابت ‎$x=0$‎ بستگی دارد که اثر خنک کننده یا گرم کننده را فراهم می کند که به شرایط منبع بستگی دارد. ما روش نمایش انتگرال فریدمن ‎–‎ربیستاین و نظریه انقباض باناخ را به کار می گیریم تا یک دستگاه هم ارز از معادلات انتگرال ولترا را حل کنیم. هم چنین ما نتیجه ی مقایسه ای از جواب(درجه حرارت و مرز آزاد) نسبت به حالت متناظر با شرایط منبعی پوچ بدست می آوریم. ‎‎ مسئله ی تک فاز استیفن برای فضای نیمه متناهی برای معادله ی گرمای کلاسیک نیاز به تعیین دمای توزیع ‎$u$‎ از فاز مایع (مسئله ی ذوب) یا از فاز جامد (مسئله ی انجماد) و گسترش یا تغییر شکل مرز آزاد ‎$x=s(t)$‎ دارد.