برای مطالعه ی نقاط تابی خم های بیضوی روی میدان های عددی به مفاهیم خم بیضوی، خم ابربیضوی، گروه تابی و خم مدولار نیاز داریم. اولین حدس هایی که در مورد کرانداری نقاط تابی روی میدان های عددی زده شد بیان می داشت که تعداد نقاط تابی یک خم بیضوی روی یک میدان عددی توسط یک عدد ثابت، که این عدد فقط به درجه میدان عددی بستگی دارد، محدود می شود. این حدس بعدها توسط مرل ثابت شد. ما در فصل ‎3‎ این قضیه را بدون اثبات می آوریم. سپس به بررسی گروه تابی روی میدان اعداد گویا می پردازیم. قضیه اساسی لوتز-ناگل روشی مهم برای یافتن نقاط تابی روی میدان گویا بدست می دهد. این قضیه را در همین فصل بیان کرده و مثال هایی می آوریم. همه محاسبات مربوط به رتبه و ژاکوبین در نرم افزار ماگما انجام شده است. در فصل ‎4‎ ابتدا به بیان قضیه ی مهمی در مورد گروه تابی خم بیضوی روی یک میدان مربعیمی پردازیم. این قضیه توسط ‎کامینی، ‎کنکو و ‎ماموس بیان و اثبات شده است. در ادامه به بررسی گروه تابی روی دو میدان خاص مربعی می پردازیم. سپس برای یک گروه تابی داده شده میدانی با کمترین مبین می یابیم. و در قسمت آخر به بررسی چگونگی ظهور یک گروه تابی مشخص روی یک میدان مربعی ثابت می پردازیم. جون، کیم و ‎اشویزر قضیه ی مهمی را برای گروه تابی خم های بیضوی روی میدان های مکعبی بیان کرده اند. در فصل ‎5‎ این قضیه را می آوریم. در ادامه قضایایی برای گروه تابی روی برخی از میدان های مکعبی را بیان و اثبات می کنیم.