فرض کنید u و v دو رأس از گراف g باشند به طوری که با فاصله دو از یکدیگر قرار گرفته باشند وx همسایگی مشترک u و v باشد منظور از یک بالابری در گراف g حذف یا ل های ux و xv و اضافه کردن یال uv می باشد. در فصل اول مفاهیم و مقدمات اولیه گراف که در فصل بعد به آن نیازمندیم را یادآوری می کنیم. در فصل دوم تاثیر بالابریالی روی عدد احاطه گری در گراف ها را به طور کامل بررسی می کنیم. در فصل سوم تاثیرات بالابریالی روی عدد احاطه گری کلی در یک گراف را مورد مطالعه قرار می دهیم.