در این پایان نامه، برای حل عددی مساله ی مقدار اولیه ی ‎$ y^{}=f(x,y)$‎، ‎$ y(x_{0})=y_{0}$‎، روش تک گامی ‎7-‎مرحله ای هرمیت-بیرخوف-تیلور از مرتبه ی ‎11‎ را معرفی می کنیم که برای حل، از چندجمله ای های درونیاب هرمیت-بیرخوف و ‎$ y^{} $‎ تا ‎$ y^{(6)} $‎ استفاده می کند. این روش، ترکیبی از یک روش رانگ-کوتای ‎7-‎مرحله ای صریح از مرتبه ی ‎6‎ با یک روش تیلور از مرتبه ی ‎6‎ است. با متحد قرار دادن بسط جواب عددی به دست آمده از روش با بسط تیلور جواب دقیق تا مرتبه ی ‎11‎، شرایط مرتبه ی روش به دست می آید. با قرار دادن این شرایط در یک دستگاه نوع واندرموند ضرایب روش تعیین می شود. نتایج عددی حاصل‎‎‏، مزیت استفاده از مشتق های بالاتر را در روش رانگ-کوتا نشان می دهد.