در این رساله ابتدا به تعریف حلقه های بائر ، شبه بائر و p-q بائر می پردازیم و سپس با بیان تعاریفی از قبیل حلقه ی کاهشی و حلقه ی آلفا صلب و آلفا سازگار به ایجاد شرایطی می پردازیم که بتوانیم ویژگی های فوق را بر روی توسیع هایی ار این حلقه ها مانند سری های توانی لوران و سری های توانی هیلبرت و سری توانی اریب لوران و ... نیز اعمال کنیم و به عنوان نمونه ثابت کنیم که سه گزاره ی زیر معادلند: 1. حلقه ی سری توانی اریب [[r [[x ; alpha یک حلقه p-q بائر است . 2.حلقه ی سری توانی لوران اریب [[r [[x,x^-1 ; alpha یک حلقه p-q بائر است . 3.حلقه ی r یک حلقه p-q بائر است و هر زیر مجموعه شمارا از خودتوان های نیم مرکزی راست یک اتصال شمارای تعمیم یافته داشته باشد.