حلقه های ریکارت و بئر ارتباط تنگاتنگی با c*-جبرها و جبرهای فون نویمان دارند.کاپلانسکی در سال1955مفهوم حلقه های بئر را معرفی کرد . این حلقه ها در سال 1967 به حلقه های شبه بئر توسیع پیدا کردند. مفهوم حلقه های بئر بسیار کلی تراز مفهوم حلقه های ریکارت است. فعالیتهای کاپلانسکی روی حلقه های بئر سبب شد تا مفهوم حلقه های ریکارت در ابتداتوسط میدا منتشر شود و مطالعات فراوانی توسط هاتوری و بربرین و شماری از نویسندگان در این زمینه انجام شده است.

این پایان نامه در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول تعاریف و مفاهیمی که برای فهم بهتر مطالب دو فصل دیگر مورد نیاز است، آمده است. در فصل دوم ابتدا به طور کامل حلقه های ارزیاب گسسته (dvr) مورد بررسی قرار گرفته است. سپس حلقه های حسابی و حلقه های پروفر بررسی شده است. در انتهای این فصل نیز ارتباط حلقه های حسابی و حلقه های پروفر بررسی شده و نتیجه اصلی این فصل این است که حلقه r حسابی است، اگر و تنها اگر پروفر باشد. در فصل سوم ایدآل های تحویل ناپذیر و ایدآل های قویاًتحویل ناپذیر تعریف شده و در لم ها و قضایایی ویژگی های آنها مورد بررسی قرار گرفته است. و در انتهای این فصل ایدآل های قویاًتحویل ناپذیر در حلقه های نوتری مورد بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه نشان داده شده است که اگر r یک حلقه با بعد گلدی راست متناهی و n یک عدد صحیح مثبت و یک حاصل ضرب مستقیم از r-مدول های راست n-موروثی باشد، آن گاه r در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق می کند اگر و تنها اگر برای هر ، در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول هایn -مولد صدق کند. هم چنین ثابت می شود که اگر r یک حلقه ی گلدی راست باشد که در شرط زنجیر نزولی روی پوچ سازهای راست صدق کند و n یک عدد صحیح مثبت باشد به طوری که هر r-مدول راست آزاد متناهیاً تولید شده در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق کند، آن گاه هر r-مدول راست آزاد در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدول های n-مولد صدق می کند. در آخر نشان داده می شود که اگر r یک حلقه ی نوتری راست و چپ باشد، آن گاه برای هر عدد صحیح مثبت n، r-مدول راست در شرط زنجیر صعودی روی زیرمدو های n-مولد صدق می کند.

در این پایان نامه ابتدا یک gcd - دامنه را تعریف می کنیم. gcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که هر دو عضو ناصفر آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک داشته باشند. در یک gcd - دامنه اشتراک هر دو ایده آل اصلی یک ایده آل اصلی است. سپس agcd - دامنه ها (تقریبا gcd - دامنه ها) را تعریف می کنیم. agcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که برای هر دو عضو ناصفر آن مانند b وa عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که اشتراک دو ایده آل a^nr و b^nr یک ایده آل اصلی است. در ادامه به معرفی عناصر v - متباین می پردازیم. دو عنصر ناصفر a وb از دامنه صحیح r را v - متباین می نامیم هرگاه اشتراک دو ایده آل ar و br مساوی ایده آل abr شود و در این صورت می نویسیم a,b)_v=1) . با استفاده از این تعریف، بلوک های اول را در یک دامنه صحیح r معرفی می کنیم و خواص آن ها را بررسی می کنیم. در ادامه با استفاده از بلوک های اول، aufd ها (تقریبا ufd ها) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک aufd می نامیم، هرگاه برای هر عنصر ناصفر غیر یکال x متعلق به r ، عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که x^n قابل نمایش به صورت حاصلضربی از تعداد متناهی بلوک های اول دو بدو v- متباین باشد. بعد از معرفی aufd ها نشان می دهیم که هر aufd یک agcd – دامنه است. در ادامه به معرفی t - ایده آل ها می پردازیم و خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم در یک aufd هر t - ایده ال اول مشمول در یک t - ایده آل ماکسیمال یکتاست و هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال از r قرار دارد. سپس نشان خواهیم داد اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r یک aufd است اگر و تنها اگر در شرط های زیر صدق کند: الف)هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها متعلق به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال باشد. ب) اگر دو t- ایده آل ماکسیمال p_2,p_1 شامل یک ایده آل ناصفر مشترک باشند آنگاه p2=p1 . سپس به بررسی خواص agcd - دامنه ها می پردازیم و نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد، بستار صحیح آن نیز یک agcd - دامنه است. بعد از آن یک حلقه ارزیابی را تعریف کرده و با استفاده از آن دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) می نامیم هرگاه به ازای هر t - ایده آل اول p از r_p، r حلقه ارزیابی باشد. پس از تعریف، نشان می دهیم هر pvmd صحیحا بسته است. در ادامه نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r صحیحا بسته است اگر و تنها اگر r یک pvmd باشد. بعد از آن در یک قضیه پنج شرط معادل برای آنکه agcd - دامنه r صحیحا بسته باشد بدست می آوریم. سپس یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) می نامیم هرگاه برای هر دو عنصر ناصفر a وb متعلق به r عدد طبیعی (n = n(a , b موجود باشد به طوری که ایده آل ( a^n, b^n ) اصلی است. بعد از تعریف یک دامنه تقریبا بزو (ab -دامنه) نشان خواهیم داد که agcd - دامنه r ، یک ab -دامنه نیم موضعی است اگر و تنها اگر r شامل هیچ دنباله نامتناهی از عناصر غیر یکال دو بدو v - متباین نیست. در پایان agcd-دامنه های از t-مشخصه متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم.