این پایان نامه شامل دو بخش عمده در تقریب عددی معادله کان-هیلیارد است. بخش عمده ای از کار در رابطه با معادله کان-هیلیارد مختل شده به وسیله نویزها می باشد، که به عنوان معادله کان-هیلیارد-کوک شناخته شده است.‎ در اولین بخش معادله کان-هیلیارد-کوک-خطی را نسبت به متغیر فضا با استفاده از روش المان محدود استاندارد گسسته سازی کرده، و با استفاده از فرضیات مناسب بر روی عملگر کوواریانس فرایند وینر برآورد همگرایی قوی آن را اثبات می کنیم. تجزیه و تحلیل بر اساس نیم گروه های تحلیلی است. بخش عمده ای از کار محاسبه کران های خطایی برای معادله است‎. در بخش دوم معادله کان-هیلیارد-کوک غیرخطی را بررسی می کنیم. وجود قریب به یقین و نظم موجود در جواب ها را نشان می دهیم. با استفاده از روش المان محدود استاندارد یک تقریب فضایی مناسب معرفی و برآورد خطا را به منظور بهینه کردن برروی مجموعه ای از احتمال دلخواه نزدیک به ‎?‎ ثابت می کنیم. همچنین همگرایی قوی بدون نرخ شناخته شده را اثبات می کنیم.

معادلات دیفرانسیل جبری جزیی به شکل aut(t,x)+buxx(t,x)+cu(t,x) = f(t,x) زمانی مورد مطالعه قرار می گیرند که حداقل یکی از ماتریس های a,b ϵ rn×n منفرد باشد. حالت a = 0 و b = 0 به ترتیب به معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جبری منتهی می شوند. بنابراین فرض می کنیم که a,b =0 . برای این سیستم ها یک اندیس دیفرانسیل زمانی یکنواخت و یک اندیس دیفرانسیل مکانی را معرفی می کنیم. این اندیس ها به ترتیب به وسیله یک تبدیل فوریه و لاپاس مشخص می شوند. علاوه بر این یک جفت اندیس اختلال را معرفی می کنیم. تعداد شرایط اولیه و مرزی را برای خانواده های منتظم به دست می آوریم. در پایان خطای برش کامل و خطای گسسته سازی کامل را معرفی می کنیم و نرمشان را معرفی می کنیم.

در این پایان نامه، روش تطبیقی عناصر متناهی گالرکین زمان گسسته فضا-زمان، شامل شرایط مرزی غیرانعکاسی دقیق مرتبه بالا، برای مسایل موج بی کران را بیان می کنیم. بر اساس روش گاوس- سایدل، طرح تکرار چندسطحی اسپارس را برای حل دستگاه معادلات کاملا گسسته ی درونی و مرزی ارایه می دهیم. با توجه به ماهیت مکانی انتشار موج روند تکراری فقط به چند تکرار در هر گام زمانی نیاز دارد. با قطری سازی ماتریس های میرایی، جرم و مرزی در هزینه صرفه جویی می کنیم. استراتژی فضا-زمانh تطبیقی که بر اساس برآورد خطای فضایی زینکوویچ-زو است را کار می بریم. برآورد خطای زمانی از جهش ناپیوسته بین گام های زمانی جواب میدان درونی و توابع کمکی مرزی به دست می آید. پایداری بدون شرط و گسترش دقت مرتبه بالای روش های فضا-زمان، باعث شده است که گسسته سازی عناصر متناهی روی دامنه زمانی، به خوبی دامنه فضایی، استفاده شود.ولی به طور خاص، پیاده سازی دنباله ای از شرایط مرزی دقیق مرتبه ی بالا را در فضا-زمان روش تطبیقی عناصر متناهی، برای امواج صوتی و مسایل پراکندگی در دامنه های خارجی بررسی می کنیم. روش عناصر متناهی گالرکین گسسته چند میدانی با متغییرهای مستقل را به کار می بریم. از یک طرح تکراری چند سطحی، برای حل دستگاه معادلات کاملا گسسته ی داخلی و مرزی، استفاده می کنیم. روش تکراری در هر گام زمانی فقط به چند تکرار، برای حل مجدد جواب با دقت بالا نیاز دارد. استراتژی فضا-زمان hتطبیقی بر اساس برآورد خطای فضایی زینکوویچ-زو zienkiewicz–zhuاست که از بازیابی قطعه ی فوق همگراsuperconvergent patch recovery همراه با یک برآورد خطای زمانی ناشی از جهش گسسته، در گام های زمانی به دست می آید.گام های زمانی با حفظ تلرانس خطا تنظیم می شوند.

این پایان نامه به حل عددی مسائل مقدار مرزی به روش بدون شبکه توسعه یافته می پردازد. در فصل اول به بیان مفاهیمی از روش های بدون شبکه و تفاوت آن ها با روش عناصر متناهی می پردازیم . در فصل دوم روش های تقریبی برای ساخت توابع شکل ، از جمله روش تقریبی کمترین مربعات متحرک (mls)معرفی می شوند. فصل آخر از دو بخش کلی تشکیل شده است، که در بخش اول به معرفی کامل و نحوه فرمول بندی و پیاده سازی روش بدون شبکه ی efg بر پایه تقریب mls می پردازیم . و در بخش دوم با معرفی روش بدون شبکه ی توسعه یافته بر مسایل عددی سنجیده خواهد شد . رسم تمامی نمودارها در بخش مثال های عددی با استفاده از نرم افزار متلب (matlab ) می باشد.

معادلات دیفرانسیل جزیی بیضوی با ضرایب انتشار ناپیوسته در دامنه های کاربردی همچون انتشار از طریق رسانه متخلخل، انتشار میدان الکترومغناطیس در رسانه های ناهمگن، و پروسه های انتشار در سطوح خشن روی می دهند. روش استاندارد برای حل عددی این مسایل با استفاده از روش های عناصر متناهی عبارت است از فرض این واقعیت که، ناپیوستگی در مرزهای سلول های مثلث اولیه بوجود آمده است. اما، این مساله با کاربرد ناپیوستگی در منحنی ها، سطوح، یا چند شاخه ای ها مطابقت نداشته و از قبل قابل شناسایی نیست. یکی از موانع حل اینگونه مسایل ناپیوسته این است که نظریه اختلال برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیضوی، مرزهایی برای اختلال ضرایب در نورم ‎$ l_ infty $‎ در نظر می گیرد، این مساله مستلزم این است که ناپیوستگی به طور کامل همسان بوده، اما ضرایب تقریبی باشند. روش جدید را براساس اختلال ضرایب در نورم ‎$ l_q $‎ با ‎$ q< infty $‎ ارایه می کنیم که به همین دلیل نیازی به تطابق دقیق ضرایب ندارد. از این نظریه اختلال جدید برای فرموله کردن روش های عناصر محدود تطبیقی جدید استفاده می کنیم تا مسایل ناپیوستگی را حل کنیم.

در این پایان نامه، چند روش را برای کمینه کردن نرم ماتریس پس خورد حالت شرح می دهیم. اهمیت این قضیه از این جهت است که کمتر کردن نرم این ماتریس اغلب هزینه و وقت کمتری نیاز دارد. الگوریتم ژنتیک برای کنترل همزمان سیستم های خطی به کار رفته است. کنترل همزمان یعنی پیدا کردن یک ماتریس پس خورد حالت برای همه سیستم ها. کنترل این سیستم ها نیاز به یک سری معادلات و نامعادلات دارد. الگوریتم ژنتیک از جواب این معادلات و نامعادلات استفاده کرده و تابع جدیدی با استفاده از جواب آنها می سازد. در فصل اول این پایان نامه تمامی تعاریفی که شاید برای خواننده قابل فهم نباشد را آورده ایم. در فصل دوم چگونگی محاسبه یک ماتریس پس خورد حالت برای یک سیستم بیان شده است. در فصل سوم روشی جدید برای محاسبه ماتریس پس خورد حالت در سیستم های مختلف آورده شده به گونه ای که نرم آن کمترین مقدار ممکن شود. در فصل آخر ماتریس پس خورد حالت پارامتری را با استفاده از دو روش محاسبه می کنیم.

معادلات دیفرانسیل جبری (dae)کاربردهای فراوانی در علوم مختلف دارند که برای حل کردن آن ها از روش های مختلف استفاده می شود تا بتوان سریع تر به جواب رسید یکی از روش های ارایه شده روش گام کسری برای معادلات دیفرانسیل جبری است که در این پایان نامه به بررسی این روش می پردازیم. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه را بیان نموده و مروری گذرا برکاربردهای معادلات دیفرانسیل جبری خواهیم داشت. در فصل دوم ابتدا به ارایه روش حل معادلات دیفرانسیل جبری با اندیس 1 پرداخته و خطای آن ها را بررسی کرده سپس این روش را برای معادلات دیفرانسیل جبری با اندیس 2 نیز تعمیم می دهیم. در فصل سوم این روش را برای معادلات ناویه استوکس تراکم ناپذیر و تراکم پذیر بررسی می کنیم و الگوریتم این روش را برای این نوع معادلات ارایه می دهیم در فصل آخر ابتدا روش نیمه لاگرانژی را برای معادلات آب کم عمق بررسی می کنیم سپس نتیجه می گیریم که روش گام کسری ارایه شده در این پایان نامه، در زمان کوتاهتری ما را به جواب معادلات آب کم عمق می رساند.