هنگامی که در حل عددی مسائل مقدار مرزی جدائی پذیر از تکنیک های گسسته سازی استفاده می کنیم, دستگاه های خطی حاصل را با روش های متنوعی می توان حل نمود. الگوریتم تجزیه ماتریس یکی از روش های موثر در حل چنین دستگاه هایی است. در این پایان نامه، در ابتدا با معرفی الگوریتم تجزیه ماتریس، به بیان کاربردهایی از این الگوریتم در روش هایی مانند روش تفاضل متناهی، روش گالرکین عنصر متناهی، روش هم مکانی اسپلاین، روش طیفی و روش جواب های بنیادی می پردازیم. همچنین با بررسی تاریخچه ای از روش های هم مکانی اسپلاین مربعی، این روش را در حالت بهینه ی فشرده جهت حل معادله هلم هلتز با شرایط مرزی دیریکله، نویمن، مخلوط و تناوبی مورد استفاده قرار می دهیم.