عبارات تحلیلی برای طیف، توابع مشخصه و عناصر ماتریس دوقطبی، به وسیله نانوساختار چاه کوانتوم دوگانه (dqw) مربعی، برای یک حالت کلی زمانی ارائه می شود که پتانسیل در نواحی مختلف نانوساختار (dqw) ارتفاع های مختلفی دارد و جرم های موثر متفاوت هستند. این مسئله، به وسیله الگوریتم پایه گروبنر به دست می آید که اجازه می دهد چندجمله ای های پیوسته به هم به دست آمده، بدون حل معادله مقدار مشخصه متعالی، حل شوند. یک پایه گروبنر برای یک دستگاه معادلات چندجمله ای، دستگاهی متفاوت از چندجمله ای های ساده تر است که ریشه های یکسانی را به عنوان ریشه های اصلی دارند. یافتن پایه گروبنر، مستلزم دسته بندی های بسیار است. بنابراین، این عمل به طور معمول، توسط بسته هاس جبری کامپیوتری پیشرفته مانند متمتیکا و میپل صورت می گیرد.