هدف از این پایان نامه ارائه ی برخی مشخصه سازی ها برای تابعک های خطی پیوسته روی فضاهای ‎$ 2k $‎ - ضرب داخلی کامل است، ابتدا فضاهای ‎$ 2k $‎ - ضرب داخلی به همراه برخی ویژگی های آن را بیان می کنیم، سپس تعامد بیرخوف و ‎$ 2k $‎ - تعامد را معرفی کرده و رابطه ی بین این دو را بررسی می کنیم. در پایان قضیه بهترین تقریب را در فضای ‎$ 2k $‎ - ضرب داخلی کامل مورد بررسی قرار داده و به بحث در مورد برخی مشخصه سازی ها برای بهترین تقریب و تابعک های خطی پیوسته در فضاهای ‎$ 2k $‎ - ضرب داخلی می پردازیم. ‎‎ ‎‎ extbf{واژگان کلیدی‎:}‎ بهترین تقریب، فضای ‎$ 2k $‎ - ضرب داخلی، تعامد بیرخوف، ‎$ 2k $‎ - تعامد، مشخصه سازی.