بعد ازظهورابررایانه ها، مشکل پیدا کردن جواب مسائل خطی تقریباً حل شده است. باوجود این، هنوز حل مسائل غیرخطی، بالاخص یافتن جواب تحلیلی این نوع مسائل آسان نیست. هر چند تکنیک های حل تحلیلی مسائل غیرخطی پیشرفت چشم گیری داشته است،اما هنوز نتوانسته است به طور کامل رضایت ریاضی دانان را جلب نماید. تکنیک های اختلالی از جمله روش های پرکاربرد برای بدست آوردن جواب های تحلیلی مسائل غیرخطی است که نتایج بدست آمده از این روش ها، بسیار جالب و ازاهمیت ویژه ای برخوردارند.این پایان نامه که بر اساس مراجع [2و3]تنظیم شده است، شامل چهار فصل است . که در آن به کاربرد روش های اختلال هموتوپی جهت بدست آوردن جواب های تحلیلی معادلات و دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری پرداخته می شود. در فصل اول، با ارائه ی مقدمه ای بر حسابان کسری به بیان تاریخچه ای کوتاه برپیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخته ایم. در ادامه با معرفی فضاهای تابعی موردنیاز، تعاریف انتگرال و مشتقات کسری را ارائه و قضایای اساسی و مورد نیاز برای مباحث آتی را بیان کرده ایم. در نهایت این فصل را با معرفی توابع میتاگ-لفلر و بیان قضایای وجود و یکتایی معادلات دیفرانسیل کسری به پایان خواهیم رساند. فصل دوم را با عنوان روش اختلال هموتوپی و کاربردهای آن نامگذاری کرده ایم. مطالب این فصل را در پنج بخش مجزا بیان کرده ایم. به این ترتیب که با ارائه ی مقدمه ای کوتاه بر روش های اختلال، روش های اختلال هموتوپی و روش اختلال هموتوپی اصلاح شده، به تشریح هر یک از روش ها و بیان مزایا و معایب این روش ها پرداخته ایم .قابل ذکر است که کارایی تمامی روش های های بیان شده را با ارائه ی مثال هایی نشان داده ایم. در فصل سوم با ارائه ی مقدمه ای بر مسائل مقدار اولیه ی کسری از نوع کاپوتو و بیان تاریخچه ای بسیار کوتاه در ارتباط با روش های عددی و تحلیلی ارائه شده، به بیان اصلی مسئله پرداخته، سپس در بخش هایی مجزا به تشریح روش های اختلال هموتوپی و اختلال هموتوپی اصلاح شده روی مسائل مقدار اولیه ی کسری کاپوتو می پردازیم. این فصل رانیز با ارائه ی مثال هایی کاربردی به پایان خواهیم برد. در فصل چهارم نیز دقیقاً مشابه فصل سوم عمل می کنیم. با این تفاوت که به جای حل معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه خواهیم پرداخت. شایان ذکر است که اکثر مسائل فیزیکی درگیر با معادلات دیفرانسیل کسری، به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری است.

‏نگاشت روی چند جمله ای های متعامد با استفاده از تبدیل فوریه ‏یا تبدیلات مناسب دیگر نتایج جالبی دربر دارد.ازجمله اینکه منجر به تولید توابع متعامد یا دو متعامد جدیدمی شود. همچنین با استفاده از این روش می توان فهمید بعضی چند جمله ای های متعامد توابع ویژه ی تبدیلات انتگرالی خاص هستند و نیز با این روش بعضی چند جمله ای های متعامد به توی هم نگاشت می شوند. در این پایان نامه ما با استفاده از تبدیل فوریه ی چند جمله ای های ویگرت-اشتیلیس ‏و اتحاد پارسوال‏،به دنباله ها ی نمایی از توابع دو متعامد ‏با تابع وزن(exp(ax^2+ ‎ibx می رسیم و با استفاده از همین دنباله های دو متعامد و تحت شرایط خاص یک دنباله ی متعامد مثلثاتی با تابع وزن حقیقی exp‎ ( - ‎qx^2)‎ را تولید می کنیم. بنابراین ابتدا ‏تعاریف اولیه و توابع دو متعامد را معرفی می کنیم و بعد چند جمله ای های متعامد کلاسیک در دو کلاس نامتناهی و متناهی و خواص آنها را معرفی می کنیم.سپس رده ی وسیع توابع فوق هندسی و خواص آنها شامل معادلات دیفرانسیل آنها ،روابط تعامد ‏، روابط بازگشتی و نمایش انتگرالی آنها را بررسی کرده و به سراغ توابع فوق هندسی بنیادی یا توابع ‎q‎-فوق هندسی می رویم و با استفاده از آنها چندجمله های از نوع ‎‎$‎q‎$‎‎‏-متعامد را معرفی می کنیم زیرا که چند جمله ای های ویگرت-اشتیلیس از این دسته چند جمله ای ها می باشند و نیز دارای نمایش ‎q‎-فوق هندسی هستند .

در این پایان نامه به بررسی معادلات دیفرانسیل انتگرالی با مشتقات جزدی خواهیم پرداخت.که ما دراین رساله یک نوع معادله انتگرو دیفرانسیل سهموی انخاب کرده و با استفاده از روشهای طیفی در دو حالت کراندار و بیکران جوابهای عددی این نوع معادلات را بررسی خواهیم کرد.همچنین برای استفاده از روش تفاضلات متناهی ابتدا مسئله را به یک معادله دیفرانسیل انتگرالی تبدیل می کنیم و با استفاده از روشهای تک گامی و چندگامی مانند رانگه-کوتا و آدامز مولتون به حل این نوع مسائل می پردازیم.در حالت بیکران با یک تغییر متغیر آن را به مسئله با دامنه کراندار تبدیل و مانند حالت کراندار حل می کنیم.

در این پایان نامه با نگاهی متفاوت به بحث تقریب توابع پرداخته ایم و ساختار کلی بسط توابع که برگرفته از درونیابی ها هستند را مورد بررسی قرار داده ایم. سپس به معرفی یک بسط تابعی که حالت کلی تری از تمام بسط های شناخته شده است می پردازیم و با استفاده از این بسط تابعی روشی برای حل معادلات تابعی و تقریب کسری پد تابع ‎رادیکال x‎ ارائه می دهیم.

این پایان نامه به مطالعه وجود و یکتایی جواب های مسائل معادلات دیفرانسیل جزئی از نوع بیضوی و سهموی به صورت یکنواخت و غیر یکنواخت از مرتبه دو می پردازد. سپس روش تقریب تابع سینک یک و دو بعدی را بیان نموده و جواب های حاصل را در حالت های مختلف برای یافتن جواب تقریبی بررسی می نماید. بنابراین لازم است تا برخی تعاریف مقدماتی, لم ها, و قضایای مورد نیاز در آنالیز تابعی از قبیل فضاهای سوبولف, معادلات بیضوی غیرخطی, مفهوم یکنواختی و غیریکنواختی را مورد مطالعه قرار داده, سپس از برخی نامساوی های فضاهای سوبولف، برای اثبات وجود و یکتایی جواب بهره گیریم. هدف اصلی این پایان نامه مطالعه رفتارهای جواب تقریبی حاصل از به کارگیری روش های عددی است که در این تحقیق برای اولین بار از روش تابع سینک دو بعدی استفاده خواهیم نمود.