‏دراین پایان نامه مدل پوانکاره از هندسه ی هذلولوی (نیم صفحه ی بالا) را تحت عمل گروه طولپا ییها درنظر می گیریم؛ به ازای هر زیرگروه گسسته که عمل آن روی نیم صفحه ی بالا به طور سره گسسته باشد، دامنه ی اصلی این عمل را با توپولوژی خارج قسمتی در نظر می گیریم. دسته های خاصی از این طولپاییها اهمیت حسابی و هندسی فراوانی دارند که دراین پایان نامه به دو خانواده ازآنها اشاره می کنیم : زیرگروه های همنهشتی ‎‎sl(2,‎mathbb{z}‎)‎ و زیرگروه های حسابی از برخی جبرهای چهارگانی روی برخی میدان های اعداد کاملا حقیقی. براساس قضایای مهمی در این رشته ‏می دانیم ‎که فضاهای خارج قسمتی در هر دوی این خانواده ها، ساختار یک خم جبری روی یک میدان اعداد دارند. در مورد خانواده ی اول (خم های مدولار کلاسیک) قضایای کلاسیک بسیاری را می دانیم که هنوز تمامی آنها به خانواده ی دوم(خم های شیمورا) تعمیم نیافته اند. در این پایان‎‏ نامه چگونگی شمارش تمامی خم های شیمورای با گونای ‎کوچک‎‎ توضیح داده شده است: ابتدا تمام مبین های ممکن برای جبرچهارگانی و سپس تمام ترازهایی که برای آنها‏، گونا حداکثر 2 می باشد لیست می شوند. ‎‎