تغییرات در لایه بندی های لیوویلی رویه های هم انرژی یک سیستم انتگرال پذیر بر این مطلب دلالت دارد که دیاگرام انشعاب در تراز انرژی متناظر دارای تکینکی هایی است. فرضیات کلی معینی رابرای سیستم های انتگرال پذیر با دو درجه آزادی در نظر می گیریم و عبارت رو به رو را اثبات می کنیم: نقاط بحرانی اساسی دیاگرام انشعاب فقط زمانی ظاهر می شوند که لایه بندی های لیوویلی رویه های هم انرژی در ترازهای انرژی متناظر تغییر کنند. در طول اثبات، رده بندی کاملی از ساختار رویه های هم انرژی در همسایگی مجموعه ی بحرانی را تحت این فرضیات کلی ارائه می دهیم و فهرست کامل گراف های فومنکوی به کار برده شده را نشان می دهیم. این می تواند گامی به سوی کامل کردن برنامه ی اسمیل باشد که رابطه ی بین ساختار لایه بندی رویه های هم انرژی با تکینگی های نگاشت ممانی را برای سیستم های انتگرال پذیر ناتبهگون با دو درجه ازادی بررسی می کند.