محققین زیادی به مطالعه نامساوی های ماکسیمال و همگرایی کامل شکل های درجه دوم از متغیرهای تصادفی مستقل، پرداخته اند. هدف این رساله، تعمیم نتایج موجود برای رده های متغیرهای تصادفی وابسته، زیرگاوسی وابسته و متغیرهای تصادفی دلخواه است. برای نیل به این مقصود، لازم است نامساوی های ماکسیمال، کولموگوروف و نمایی را برای رده های مذکور تعمیم دهیم تا با استفاده از آن ها بتوانیم همگرایی کامل شکل های درجه دوم و دوخطی و همچنین نرخ های همگرایی آن ها را مورد بررسی قرار دهیم.

روش های محاسبات بیزی تقریبی، به عنوان تکنیکی از روش های نمونه گیری مبتنی بر درستنمایی-آزاد شناخته می شوند. این روش ها، در ده سال اخیر، به عنوان راهکاری رضایت بخش برای حل مشکل استنباط بیزی مدل های با توابع درستنمایی پیچیده و رام نشدنی، معرفی شده اند. محاسبات بیزی تقریبی، برای اولین بار در ژنتیک و سپس در طیف وسیع تری از موقعیت های کاربرد ی مورد استفاده قرار گرفته شد. در طی چند سال گذشته، هر دو جنبه کاربرد و مباحث نظری این روش ها مورد نظر محققین در آمار و سایر رشته ها قرار گرفته است. با توجه به استقبال گسترده و بی سابقه از این روش ها، در این پایان نامه به معرفی الگوریتم های مختلف آن ها، بررسی برخی از مباحث نظری و نمایش چند کاربرد آن ها در مثال های واقعی و شبیه سازی، می پردازیم.

در بسیاری از کاربردها، محققین علاقه مند به تقریب تابع توزیع احتمال می باشند. یکی از روش هایی که برای این منظور به کار گرفته می شود، استفاده از بسط اچوورث است. بسط اچوورث به صورت یک سری نوشته می شود که توزیع احتمال را بر حسب گشتاورها یا انباشتک هایش، تقریب می زند. این بسط را می توان ابتدا به وسیله بسط تابع توزیع، بر حسب توابع متعامد هرمیتی، و سپس جمع کردن عبارات توانی بر حسب اندازه نمونه نتیجه گرفت. در این پایان نامه، با استفاده از اتحاد استاین و ویژگی چند جمله ای های هرمیتی، برای توزیع های پسین، با استفاده از بسط سری های اچوورث، تقریب مناسبی را به دست می آوریم. سپس مقایسه ای بین این روش و روش های قبلی معرفی شده انجام می دهیم. در پایان، عملکرد تقریب توزیع پسین حاصل از این روش را در دو مثال بررسی می کنیم‎.