روش تاو گاوس-لژاندر را می توان به عنوان یکی از روش های طیفی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی قلمداد نمود. در این روش جواب تقریبی معادله یعنی به صورت یک سری متناهی در نظر گرفته می شود بطوریکه توابع لژاندر می باشند وضرایب لازم است که محاسبه شوند. در معادلات دیفرانسیل معمولی با جواب نوسانی دقت روش تاو گاوس-لژاندر در نقاط انتهایی که نوسانات تابع زیاد است، از بین می رود. ما روش تاو گاوس-لژاندر را برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم با جواب نوسانی، توسعه می-دهیم. این روش تاو توسعه یافته ترکیبی از روشهای تاو گاوس-لژاندر و آشفتگی ضرایب می باشد. در این روش جواب تقریبی بر پایه ی چندجمله ایهای لژاندر بطور نمایی وزن دار شده در نظر گرفته می شود. در این پایان نامه روش تاو توسعه یافته را برای حل مسائل استورم-لیوویل منظم مرتبه دوم بکار می بریم. با توسعه روش تاو گوس-لژاندر به طور نمایی وزن دار شده، برای معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه چهارم، مقادیر ویژه مسائل استورم-لیوویل منظم مرتبه چهارم به صورت: محاسبه می شود. در انتها نتایج عددی مربوط به روش تاو توسعه یافته برای محاسبه مقادیر ویژه مسائل استورم-لیوویل، با تعدادی از روش های دیگر مقایسه شده است که نتایج عددی ارئه شده بیانگر دقت و کارایی روش تاو توسعه یافته می باشد.