این پایان نامه مشتمل بر پنج فصل می باشد که فصل اول خود شامل سه بخش می باشد. بخش اول تعاریف و مفاهیم مورد نیاز از گراف ها می باشد و بخش دوم تعاریف و مفاهیم مورد نیاز از متروید است. در بخش سوم به چند متروید خاص را که در این پایان نامه زیاد به آن اشاره شده است را معرفی می کنیم‎.par‎ در فصل دوم ابتدا به تعاریف و مفاهیم مربوط به ‎$c$-‎کمان ها می پردازیم، سپس منقبض کردن یک دور با اندازه ماکسیمم در یک متروید 3-‎‎‎همبند دودویی‎‎‎ با پیرامون 6 یا 7 را ارائه می دهیم و ثابت می کنیم در متروید 3-همبند دودویی ‎‎‎ ‎$m$‎ بطوریکه ‎$ mathrm{circ}(m) in leftlbrace 6,7 ight brace $‎ و ‎$ r(m) geq mathrm{circ(m)}‎ + ‎2 $‎. اگر ‎$ c $‎ یک دور با اندازه ماکسیمم از ‎$ m $‎ باشد، آنگاه رتبه هر مولفه همبند از ‎$ m/c $‎ حداکثر یک است. در واقع ثابت می کنیم که هر مولفه همبند از متروید ‎$m/c$‎ دارای رتبه ‎0‎ یا ‎1‎ است‎.par‎ در فصل سوم افراز یک دور را بررسی می کنیم سپس ثابت می کنیم که اگر ‎$ c $‎ دوری از یک متروید ‎$‎ -‎3 $‎همبند دودویی ‎$ m $‎ باشد به طوری که ‎$ |c| ‎=‎mathrm{circ}‎(m) ‎in‎ ‎leftlbrace 6,7‎ ight brace ‎‎ $‎ و اگر ‎$ z $‎ یک ستاره نسبت به ‎$ c $‎ باشد، آنگاه ‎$ z $‎ مستقل است و هم ساده سازی ‎$ m | (c cup z) $‎ یکریخت با ‎$ m (k_{4}) $‎ است یا هم ساده سازی ‎$ m | (c cup z) $‎ یکریخت با ‎$ f_{7}^{*} $‎ است. در فصل چهارم ابتدا اتصال موازی تعمیم یافته را ارائه می دهیم سپس ساختار متروید به دست آمده از متروید ‎3-‎همبند دودویی که دارای پیرامونی مساوی ‎6‎ یا ‎7‎ می باشند به طوری که بعد از حذف همه اعضایی که متعلق به ‎$ cl(c)‎ - ‎c $‎ هستند را توصیف می کنیم که در آن ‎$ c $‎ دوری با اندازه ماکسیمم است. در فصل پنجم به اثبات قضیه های اصلی می پردازیم در واقع ثابت می کنیم که‎:‎ ‎{ m‎ فرض کنیم ‎$ m $‎ یک متروید ‎$‎ -‎3 $‎همبند دودویی باشد به طوری که ‎$ r(m) geq 8 $‎. در این صورت ‎$ mathrm{circ} (m) = 6 $‎ اگر و تنها اگر ‎$ m $‎ یکریخت با ‎$ m_{n,m,l} $‎ باشد. که در آن ‎$ l $‎، ‎$ m $‎ و ‎$ n $‎ اعداد صحیحی هستند که‎‎ ‎‎$ 0 leq l leq 3 $‎، ‎$ n geq 6 $ ‎و ‎‎$ 0 leq m leq n $‎.‎‎ برای یک متروید دودویی ‎$ m $‎ به طوری که ‎$ r(m) geq 9 $‎، عبارات زیر معادل هستند:‎ir{‎‎ extbf{(الف)}‎} ‎$ mathrm{circ} (m) = 7 $‎.‎‎ ‎ir{‎‎ extbf{(‎ب)}‎‎} متروید ‎$‎ -‎3 $‎همبند دودویی ‎$ n $‎ از رتبه چهار که دارای دور همیلتونی ‎$ c $‎ و مثلث ‎$ t $‎ است که در شرط ‎$ | t cap c | = 2 $‎ صدق می کند وجود دارد به طوری که ‎$ t = e(n) cap e(k_{3,r(m)‎ - ‎4}^{(3)}) $‎ مثلث خاص ‎$ k_{3,r(m)‎ - ‎4}^{(3)} $‎ است و ‎$ m $‎ از ‎$ m setminus x $‎ به وسیله تبدیل کردن مجموعه سه تایی های دو به دو مجزا از ‎$ m = (k_{3,r(m)‎ - ‎4}^{(3)}) $‎ به چهارگوشه ها تبدیل می شوند به دست می آید، که در آن ‎$ m $‎ اتصال موازی تعمیم یافته ‎$ m (k_{3,r(m)‎ - ‎4}^{(3)}) $‎ با ‎$ n $‎ است و ‎$ x subseteq t $‎. } ‎ extbf{لموس}ltrfootnote{lemos}‎ و extbf{آکسلی} ltrfootnote{oxley}‎ ‎$ [4] $‎ ثابت کردند که‎:‎ فرض کنیم ‎$m$‎ یک متروید ‎3-‎همبند دودویی باشد. اگر ‎$r(m) geq 6$‎ باشد، آنگاه ‎$‎mathrm{circ}‎(m) geq 6$‎. بنابراین نتیجه هر متروید ‎3-‎همبند دودویی با پیرامون حداکثر ‎5‎، رتبه ای حداکثر برابر با ‎5‎ دارد. ‎ extbf{مایا}‎ ‎ltrfootnote{maia}‎ و لموس ‎[6]‎ ثابت کردند که متروید ‎3‎- همبند با رتبه حداکثر ‎5‎ همیلتونی است، مگر این که یکریخت با ‎$u_{1,1}$‎ ،‎$ f^*_7 $‎ ،‎$ ag(3,2) $‎، ‎$ ‎j‎_9 $‎ یا‎$ j_‎{‎10‎}‎ $‎ باشند‎.‎ این پایان نامه براساس مقاله زیر تنظیم شده است:‎‎ ‎egin{‎latin‎}‎‎ ‎raul‎ ‎cordovil‎, ‎br?ulio maia jr‎, ‎manoel‎ ‎lemos‎, ‎the 3-connected binary matroid with cricumference 6 or 7‎, ‎european jornal of combinatorics 30(2009) 1810‎ - ‎1824‎‎ end{‎latin}‎‎