بیشتر معادلات موجود در جهان ماهیتی غیرخطی دارند. بنابراین مطالعه روش های گوناگون برای حل مسائل غیرخطی یکی از موضوعات مهم در علوم مهندسی می باشد. روش های عددی بسیاری برای حل این مسائل وجود دارد. این روش ها همانند روش رانج-کوتا بر اساس تکنیک های منفصل سازی بوجود می آیند. بنابراین برای جلوگیری از واگرا شدن جواب ها، بررسی پایداری و همگرایی الزامی می باشد. از طرف دیگر، روش های عددی درک مناسبی از رفتار فیزیکی مسئله ارائه نمی دهند. مشکلات روش های عددی سبب شده تا محققان بسیاری، از روش های تحلیلی برای حل معادلات غیرخطی استفاده کنند. هدف اصلی این مطالعه، بررسی و توسعه روش تبدیل دیفرانسیلی برای حل بعضی مسائل مربوط به میدان متخلخل می باشد. در ابتدا اصول اولیه این روش مورد بررسی قرار می گیرد. در ادامه از روش تبدیل دیفرانسیلی برای تحلیل مسائل جریان لزج دوبعدی در یک میدان مستطیلی با دیواره های متخلخل، جریان لزج آرام در یک کانال متخلخل، جریان هیدرودینامیک مغناطیسی فشاری بین دو دیسک موازی متخلخل و جریان لایه- مرزی سیال میکروپولار در یک کانال متخلخل استفاده می شود. در روش تبدیل دیفرانسیلی سری های جواب بر اساس تابع چندجمله ای به دست می آیند. لازم به ذکر است که سری به دست آمده از این روش با سری تیلور تفاوت دارد. سادگی روش و پایین بودن حجم محاسبات یکی از مهم ترین دلایلی است که باعث شده این روش به طور گسترده مورد استفاده قرار گیرد.

در این پژوهش انتقال حرارت جابجایی دو فازی همراه با تشعشع یک قطره متحرک به صورت عددی در جریان گاز غیر قابل تراکمِ عبوری از داخل کانال و چگونگی میدان جریان داخل و خارج قطره و نیز تغییر شکل قطره در طی حرکت در میدان گرانش صفر مورد بررسی قرار گرفته است. برای این منظور حل عددی معادلات بقا جرم، مومنتوم و انرژی برای جریان در محدوده عدد ماخ پایین در حالت ? بعدی برای دو فاز مختلف بررسی شده و در هر گام زمانی معادلات مذکور بصورت دقیق نسبت به زمان حل شده اند. علاوه بر میدان جریان گاز خارجی، جریان داخل قطره هم حل می شود که نشان از ایجاد گردابه های متقارنی داخل قطره دارد. عامل این گردابه ها وجود تنش برشیِ حاصل از اختلاف سرعت بین قطره و جریان گاز اطراف است. عامل حرکت قطره تنش برشی و تنش نرمال جریان گاز اطراف است؛ که طبق قانون بقای مومنتوم، در مرز قطره، باعث حرکت قطره می شود. برای حل معادلات ناویر استوکس از روش عددی مک1 استفاده شده، که در این روش برای گسسته سازی جملات جابجایی از روش کوئیک کمک گرفته شده است. از آنجا که در حل عددی تمام متغیر ها در مرکز سلول تعریف شده اند به منظور جلوگیری از نوسانات فشار، روش رای و چو بکار رفته است. برای حل معادلات انرژی روش عددی حجم محدود منظور نظر قرار گرفته است. که در آن برای گسسته سازی جملات جابجایی روش کوئیک بکار رفته است. قطره بصورت جسم کدر فرض شده و برای منظور کردن اثرات تابش، بالانس انرژی در سطح قطره بکار رفته است. دبی بخار خروجی از قطره با برقراری بالانس انرژی در سطح قطره در نقاطی که به دمای جوش رسیده اند محاسبه شده است. قطره در طی حرکت بر اثر نیرو های وارده بر سطح تغییر شکل می دهد، برای ردیابی سطح مایع و ثبت شکل جدید در زمان جدید یک روش ردیابی حجم، که یک تابع ثبت کننده کسر حجم (بهتر است در اینجا گفته شود "کسر سطح"، زیرا دو بعدی است) را بکار می برد، مورد استفاده قرار می گیرد. شبکه عددی بصورت یکنواخت بکار رفته و میدان جریان بدون تبدیل مختصات حل می شود. در این تحقیق ابتدا جریان و انتقال حرارت بر روی استوانه ثابت در حالت های جابجایی و تابشی و ترکیب هر دو ارائه شده است؛ سپس جریان و انتقال حرارت بر روی قطره در حال سقوط برای حالت های جابجایی و تابشی و ترکیب هر دو ارائه شده است و در نهایت جریان و انتقال حرارت بر روی قطره متحرک در حالت جابجایی ارائه شده است. تفاوتی که این کار با کارهای مشابه دارد این است که در این پروژه اثرات چرخش های داخلی قطره و تغییر شکلِ قطره روی انتقال حرارت بررسی شده است، که این کار یک کار جدیدی خواهد بود. اثرات قابل توجه این 2 پدیده در تحلیل انتقال حرارت داخلی بسیار حائز اهمیت خواهد بود. چرخش های داخلی باعث ایجاد جابجایی حرارتی در داخل قطره خواهد شد و در نظر گرفتن تغییر شکل، مساله را به سمت یک پدیده واقعی سوق می دهد.