یک تعمیم از فضاهای توپولوژیک، فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته است. گردایه ی ‎$mu$‎ از زیر مجموعه های یک مجموعه ی ‎$x$‎، که شامل مجموعه ی تهی است و نسبت به اجتماع دلخواه بسته است، یک توپولوژی تعمیم یافته روی مجموعه ی ‎$x$‎ می نامند. در دهه های اخیربسیاری از نتایج و قضایای فضاهای توپولوژیک و بسیاری از تعمیم های آنها روی فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته کار شده است. در ‎cite{xy,cs2}‎ اصول جداسازی کلاسیک روی فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته بررسی و بسیاری از مشخصه های جالب با روابط و نمادهای ساده ی ریاضی روی این فضاها داده شده است و بسیاری از تفاوت های آن ها با فضای توپولوژیک با مثال ها ارائه گردیده است. تعمیم های زیادی از اصول جداسازی کلاسیک روی فضاهای توپولوژیک و فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته توسط نویسندگان زیادی کار شده است. یکی از این تعمیم های جالب در ‎cite{p}‎ تحت عنوان ‎$r$‎ -جداسازی ها معرفی شده است. ‎par‎ در فصل اول این پایان نامه اشاره ای به مفاهیم اولیه ی مورد نیاز در مورد تعاریف اصول جداسازی روی فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته داریم. در فصل دوم اصول و قضایای ‎$r$‎ -جداسازی که در ‎cite{p}‎ برای فضاهای توپولوژیک ارائه شده است، را برای فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته مورد بررسی و مطالعه قرار داده و نشان داده ایم که این اصول و قضایا برای فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته نیز برقرار هستند، خصوصاً حالت های جالبی که رابطه ی ‎$r$‎، یک رابطه ی هم ارزی و یا یک تابع روی فضای توپولوژیک تعمیم یافته ی ‎$x$‎ باشد. در فصل سوم ما ‎$r$‎ -جداسازی ها را برای فضا های بستار که خود تعمیمی دیگری از فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته است، به عنوان یک نتایج جدید برای حالت های خاصی که ‎$r$‎ روابط کولموگر‏وف روی فضای بستار است را شرح داده ایم، ‎cite{mii}‎. فضاهای بستار تعمیمی از فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته است که در آن ها عملگر بستار بر خلاف توپولوژی تعمیم یافته لزومی ندارد که خودتوان باشد. بنابراین در این فصل ما توصیف جدیدی از اصول جداسازی کلاسیک ‎$t_{0},t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}$‎ برای فضاهای بستار و در نتیجه برای فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته بدست آورده ایم و این اصول را با نمادهای ‎$t_{0}^{r},t_{1}^{r},t_{2}^{r},t_{3}^{r},t_{4}^{r}$‎ نمایش داده ایم. روابط شناخته شده ی کولموگروف که برای فضاهای توپولوژیک با توجه به این که عملگر بستار روی آن ها خودتوان می باشد دو نوع هستند، ‎cite{mps}‎. اما این روابط روی فضا های بستار تبدیل به سه رابطه ی متفاوت می شوند که ما آنها را روابط اول، دوم و سوم کولموگروف می نامیم که در حالت فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته روابط اول و دوم یکسان هستند. به عنوان یک نتیجه ی مهم نشان داده ایم که برای هر سه رابطه ی کولموگروف روی فضاهای بستار، ‎$r$‎ -جداسازی ها معادل یکدیگرند.

در این پایان نامه، ما ابتدا اصول شناخته شده ی کلاسیک را برای فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته توصیف و بسیاری از مشخصه های فضا های ‎$t_{0},t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}$‎ و همچنین ‎$t_{d}$‎ و ‎$r_{0}$‎ را بیان و بعضی روابط بین آن ها را بررسی می کنیم. در ادامه با در نظر گرفتن یک خانواده دلخواه به جای مجموعه های باز یک فضای توپولوژیک تعمیم یافته، تعمیمی از اصول جداسازی ‎$t_{0},t_{1},t_{2},s_{1},s_{2}$‎ بدست می آوریم و نتایج مهم بدست آمده را با نتایج قبلی مقایسه می کنیم. سرانجام با معرفی یک گردایه ی جدید ‎$d$‎ از زیر مجموعه های یک فضای توپولوژیک تعمیم یافته، یک تعمیم ضعیف دیگری از اصول جداسازی ‎$t_{0},t_{1},t_{2}$‎ بدست می آوریم و آنها را با نماد ‎$d_{0},d_{1},d_{2}$‎ نشان می دهیم. سپس مشخصه های زیادی برای این اصول جداسازی ضعیف معرفی و روابط بین آن ها را بررسی می کنیم.