‏در این پایان نامه به حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی می پردازیم. در فصل اول به بیان مفاهیم و تعاریف مورد نیاز می پردازیم. در فصل دوم معادلات دیفرانسیل تصادفی را معرفی می کنیم. در فصل سوم روش المان های محدود را معرفی می کنیم و اساس کار آن را بر روی‏ معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی توضیح می دهیم. در فصل آخر روش عددی برای این معادلات پیشنهاد می دهیم و رفتار سرعت همگرایی را در دو حالت اختلال سفید‏ ‏و ‎اختلال‎ رنگی با هم مقایسه می کنیم. رسم تمامی نمودارها در سر تا سر این پایان نامه با استفاده از نرم افزار ‎‎‏‎matlab‎ انجام شده است

با توجه به آن که بسیاری از مسائل فیزیک با معادلات دیفرانسیل ـ جبری مدل بندی می شوند‏، شایسته است که بتوان برای این مسائل جواب هایی با دقت بالا یافت. در سال های اخیر روش های عددی برای حل این معادلات به کار گرفته شده است. اما این روش ها برای مسائل با اندیس پایین مناسب هستند و برای مسائل با اندیس بالا نمی توان از آن ها استفاده کرد‏‏، پس لازم است برای ‏این مسائل جواب هایی با دقت بالا پیدا کرد. در‎‎‎‎‎‎ این پایان نامه سعی داریم معادلات دیفرانسیل ـ جبری را با روش های نیمه تحلیلی حل کنیم. به این منظور ابتدا از روش کاهش اندیس برای معادلات دیفرانسیل ـ جبری استفاده نموده‏، سپس دستگاه حاصل را با روش های نیمه تحلیلی وردشی‏، آدومیان و اختلال هموتوپی حل می کنیم. روش وردشی دنباله ای از توابع را فراهم می سازد که به پاسخ دقیق مسئله همگر‏ا است. روش آدومیان و روش اختلال هموتوپی سری نامتناهی تولید می کنند که به پاسخ دقیق مسئله همگرا است. نتایج عددی حاصل از مثال های مختلف معادلات دیفرانسیل ـ جبری اندیس بالا توانایی و مناسب بودن این روش ها را نشان می دهند.

برای مدل سازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، در حالات ‎?‎ و ‎?‎ بعدی، کارایی روش از نظر اجرایی و به خصوص حافظه ی موردنیاز، اهمیت بسیاری دارد. ‏از سویی‏، در بسیاری از کاربردهای معادله ی موج، فقط بخش کوچکی از دامنه ی محاسباتی‏،‎‎ پیچیده است و به گسسته‎ سازی پیچیده، نیاز دارد درحالی که، ناحیه بزرگی از دامنه ی محاسباتی، با شبکه دکارتی ساده، گسسته می شود. به همین دلیل در این پایان نامه، روشی ترکیبی ارایه می شود که انعطاف پذیری روش عناصر متناهی را با کارایی روش تفاضلات متناهی، ترکیب می کند؛ به عبارت دیگر‏، دامنه به دو بخش‏ تقسیم می شود‏، در بخش هایی از دامنه که هندسه، ساده است از روش تفاضلات متناهی و در بخش های پیچیده تر، از روش عناصر متناهی، استفاده می شود.

‏یک ‏روش عناصر متناهی جدید به نام روش چند مقیاسی وردشی تطبیقی را همراه با تکنیکی منظم‏، برای بدست آوردن تقریبی از بخش مقیاس ظریف جواب‏، توسعه می دهیم. جواب مقیاس ظریف‏، با مجموع جواب های مسایل موضعی مجزا که به صورت عددی حل شده اند‏، تخمین زده می شود. برآورد خطای پسینی را در نورم انرژی نتیجه می گیریم که به پارامترهای مهم گسسته سازی وابسته است. این پارامترها عبارتند از: اندازه مش مقیاس درشت‏، اندازه مش مقیاس ظریف‏ و اندازه وصله ها. بر پایه برآورد خطای پسین‏، الگوریتمی تطبیقی را ارایه می دهیم که به صورت خودکار این پارامترها را کنترل می کند.‎ در نهایت با ارایه مثال های عددی مختلف‏، نشان می دهیم که این روش در عمل چگونه کار می کند.

پس از دو دهه‎‏‏،‏‏ تحقیق روی مساله های وردشی مرکب خطی و تقریب عددی آن ها با روش های مرکب‏ توسط آرنولد‏، فالک‏ و ویندر‎ ‎‎‎‎‎ ‏به اوج خود رسیده است. آن ها نشان دادند که این مسایل می توانند با بسط حساب بیرونی عناصر متنا‎‏هی برای مسایل بیضوی با استفاده از مفاهیم و ابزارهایی از هیلبرت ‏مختلط درک شوند. در دو مقاله مرتبط هولست و استرین ‎‎‎‎‏زمینه کاری آرنولد و فالک را به مسایل نیمه‎‏ خطی بسط داد‏ند‏ که امکان تحلیل و تقریب عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎‎ بیضوی هندسه خطی و غیرخطی را برای مسایلی که شامل جرایم وردشی‎ می شوند روی خمینه های ریمانی از بعد مکانی دلخواه فراهم می کنند‏ و اجازه تعمیم سطح نظریه تقریب عناصر متناهی را در چندین جهت می دهند. در‎‎ این پایان نامه‏‎،‎‏‎‎‎ حساب بیرونی عناصر متناهی ‏را در جهت دیگری بسط می دهیم‏، به این معنی که برای تکامل دستگاه های سهموی و هذلولوی می توانیم از مباحث هندسی و مساله های تکاملی دیگر استفاده کنیم. این روش ترکیبی از کارهای اخیر روی‎‎ حساب بیرونی عناصر متناهی ‏برای مسایل بیضوی با روشی کلاسیک‎ ‎جهت‎ حل مساله های تکاملی می باشد که از طریق روش های عناصر متناهی نیمه گسسته با بررسی جواب های مسایل تکاملی در فضای‏ های هیلبرت پارامتری شده (یا فضا‏های بوخنر‎ انجام می شود. برآورد خطای پیشینی برای تقریب گالرکین ‎‏روش‎‎ عناصر متناهی‏ در نورم های فضای هیلبرت پارامتری شده طبیعی براساس روش های کلاسیک توسط تامی‎‎ ‎‎ ‏برای مساله های سهموی و ‎گوچی‎ برای مساله های هذلولوی اثبات می کنیم.

در این پایان نامه، یافتن ماتریس پسخورد حالت را برای مسئله تخصیص مقادیر ویژه جزئی شرح می دهیم. مسئله ثابت نگه داشتن یک بخش از طیف ماتریس حلقه باز سیستم خطی با کنترل پسخورد حالت و خارج کردن باقیمانده طیف را مسئله تخصیص مقدار ویژه جزئی می نامند. اصل این مسئله برای سیستم هایی به کار می رود که به طور کامل پایدار نیستند و تعدادی از مقادیر ویژه طیف حلقه باز، که تنها همین مقادیر نیاز به تخصیص دوباره دارند، در ناحیه پایداری قرار ندارند. از آن جایی که این مسئله در نظریه کنترل و بهینه سازی از اهمیت بالایی برخوردار است، روش های گوناگونی برای حل آن ارائه شده است که در ابتدای این پایانامه برخی از آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. به اختصار روش به کار برده شده در این پایانامه به گونه ای است که با استفاده از بردار های ویژه سمت چپ وابسته به مقادیر ویژه ناپایدار ، مسئله را به یک مسئله تخصیص مقدار ویژه تبدیل می کنیم و با کاربرد تبدیلات تشابهی در سیستم های کنترل خطی، ماتریس پسخورد حالتی را محاسبه می کنیم که مقادیر ویژه مورد نظر را به سیستم حلقه بسته اختصاص می دهد. از آن جایی که مینیمم سازی نورم ماتریس پس خورد حالت در بهینه سازی سیستم کنترل خطی، دارای اهمیت فراوانی است، با استفاده از روش پیشنهادی و گراف انتقال حالت، ماتریس پس خورد حالتی را به دست می آوریم که دارای کم ترین نورم است. در ادامه نیز روشی نو برای یافتن ماتریس پسخورد حالت پارامتری غیر خطی ارائه می دهیم. در انتهای هر بحث، برای شرح بیش تر مثال عددی نیز آورده شده است.

امروزه روش های عددی یکی از متداول ترین و محبوب ترین روش ها برای تحلیل بسیاری از مسایل مهندسی می باشند‏، زیرا در مقابل روش های تجربی و آزمایشگاهی هزینه های بسیار کمتری در پی دارند. روش های عددی متداول معمولا براساس گسسته سازی ناحیه محاسباتی توسط یک شبکه محاسباتی و اعمال معادلات حاکم روی شبکه مورد نظر پایه ریزی شده اند. روش المان مرزی از جمله روش های عددی است که مزایای بسیاری در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی دارد. در این روش‏، معادلات دیفرانسیل به اتحادهای انتگرالی تبدیل می شوند که بر روی سطح یا مرز اعمال شده اند و برخلاف روش المان محدود که کل دامنه المان بندی می شود‏، تنها مرز های جسم المان بندی شده و درنهایت مانند دیگر روش های عددی یک دستگاه معادلات جبری خطی حاصل می گردد که جوابی یکتا خواهد داشت. برتری اصلی این روش به دیگر روش های عددی‏، المان بندی سطحی به جای المان بندی حجمی است. این روش به طور هندسی و به سادگی برای هر شکل پیچیده مرزی قابل اعمال است. در این پایان نامه هدف حل مساله هلمهولتز با روش المان مرزی است. در فصل اول به مزایا و معایب این روش نسبت به سایر روش های عددی و تاریخچه مختصری از این روش پرداخته ایم. در فصل دوم مقدمات و پیش نیازهای لازم را به منظور اجرای روش المان مرزی بیان کرده ایم و در ادامه این روش را برروی مساله لاپلاس ‏که حالت خاصی از مساله هلمهولتز می باشد‏‏، با فرض ثابت بودن المان ها اعمال کرده ایم‏، در فصل بعد توسط کدنویسی به زبان متلب به تحلیل یک مثال عددی و مقایسه نتایج حاصل با مقادیر واقعی جواب و تاثیر افزایش المان ها در دقت جواب تقریبی پرداخته ایم و در فصل انتهایی مساله هلمهولتز را به روش المان مرزی تحلیل کرده ایم.

‏روش بدون مش از جمله روش های عددی است که در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی بکار می رود. این روش‏، برخلاف روش عناصر متناهی که دامنه را المان بندی می کند‏، نیازی به المان ندارد و بر روی محمل دامنه انتگرال گیری صورت می گیرد. هدف این پایان نامه حل مسایل جریان گرمای ناپایدار با استفاده از روش های بدون مش بهبود یافته و مقایسه آن با روش عناصر متناهی و روش های بدون مش رایج است.

پاسخ عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی، به خصوص معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی به نسبت نسخه های غیرتصادفی زمینه ای جدید است. تقریبا اکثر الگوریتم هایی که جواب های نسبتا مناسبی برای معادلات دیفرانسیل معمولی به دست می دهند، جواب هایی ضعیف در برابر نسخه تصادفی آن دارند. از جمله راه حل های معرفی شده، روش اویلر-مارایوما و روش میلستین و روش رونگه کوتا برای معادلات دیفرانسیل تصادفی است. دراین پایان نامه عمومی ترین روش المان محدود میلستین-گالرکین را در دسته معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی تصادفی نیمه خطی به کار می بریم. در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه را بیان نموده و مروری گذرا بر تعاریف معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و مفاهیم نظریه احتمال خواهیم کرد. در فصل دوم طرح اصلی را معرفی کرده و به بیان فرضیات اصلی مورد کاربرد خواهیم پرداخت. همچنین المان های مهم روش المان محدود گالرکین را بیان می کنیم. در فصل سوم دسته ای از طرح های یک گامی عددی را در فضای هیلبرت معرفی می کنیم و تحلیل سازگاری و پایداری را در این چارچوب کار توسعه می دهیم و با مجموعه ای از شرایط مناسب برای به اصطلاح دوپایداری به اتمام می رسانیم و تجزیه ای از خطای برشی محلی ارایه می دهیم. در فصل آخر دوپایداری و سازگاری طرح میلستین-گالرکین را بر اساس چارچوب کار طرح عددی بیان می کنیم.

در این پایان نامه شیوه جدیدی از روش تکرار وردشی برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول معرفی می شود. این شیوه بر خلاف شیوه کلاسیک تغییرات محدود را در عبارات غیرخطی بکار می برد. این روش در مقایسه با شیوه کلاسیک با تعمیم ضرایب لاگرانژ میزان محاسبات را کاهش می دهد و جواب را سریعتر به دست می آورد. برای تایید روش جدید در حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مثال هایی را ارایه می دهیم که نشان می دهد استفاده از ضرایب لاگرانژ تعمیم یافته قابل اعتمادتر است.‎‎‎‏‎ همچنین روش تکرار وردشی را برای مسایل مقدار مرزی و اولیه بکار می بریم. همچنین الگوریتم جدیدی را برای مسایل مقدار مرزی خطی و غیر خطی معرفی می کنیم که نیازمند استفاده از تابع گرین نیست.