در این پایان نامه، ابتدا مفاهیم اولیه در مورد سیستم های دینامیکی بیان می شود. سپس، به بحث در مورد دورهای حدی و انشعاب پرداخته می شود. مسئله شناخته شده ای که با دورهای حدی ارتباط دارد، مسئله شانزدهم هیلبرت می باشد که دومین قسمت مسئله تعیین تعداد و موقعیت دورهای حدی است. به ویژه تعیین تعداد دورهای حدی دامنه کوچک، که به محاسبه مقادیر کانونی نقاط بحرانی و حل معادلات چند جمله ای جفتی نیاز می باشد. این محاسبات به واسطه محاسبات نمادین و به کمک یک سیستم جبری کامپیوتری مانند میپل انجام می گیرد.

در بخش نخست، مفهوم بسط مجانبی و اهمیت آن را در کاربردها را مطرح می کنیم. توابع خاصی که بر اساس انتگرال تعریف می شوند و تقریب زدن آنها با بسط های مجانبی مورد توجه ما خواهند بود. نظریه کلی بسط های مجانبی انتگرالها را بیان کرده و دو روش سنتی تر (لم واتسون و روش نقطه زینی ) و امروزی تر (روشهای توزیعی) را توضیح می دهیم. در بخش دوم، این شیوه ها را در تقریب مجانبی چندجمله ایهای جدول اسکی برحسب چندجمله ایهای ساده تر همان جدول به کار می بندیم. به دو نوع مختلف بسط های مجانبی می پردازیم که اخیراً مطرح شده اند: الف) پارامتری از چند جمله ای بزرگ است و ب) درجه (و احیاناً متغیر) چندجمله ای بزرگ است. در هر مورد روش مجانبی متفاوتی در پیش می گیریم. در حالت اول از « انطباق توابع مولد در مبدأ » و در حالت دوم از نوع اصلاح یافته روش زینی ، همراه با نظریه بسط تیلور دو نقطه ای استفاده می کنیم. در حالت اول، مجموعه ای متناهی از چندجمله ایها حاصل می شود. در حالت دوم، بسط مجانبی عبارت از سری همگرایی از چندجمله ایهاست. در پایان مقاله به پژوهشهای جدید دیگری در باب بسط های مجانبی انتگرالها اشاره ای می کنیم.