فرض کنیم g یک گروه آبلی دلخواه و t زیرگروه تابدار ازg باشد. اگر a نسبت به خاصیت مجزا بودن از t ماکسیمال باشد آنگاه a یک زیرگروه t-بلند از g خوانده می شود. در این پایان نامه ابتدا نشان می دهیم که زیرگروه t-بلند l از گروه آبلی g از رتبه بی تاب یک وجود دارد بطوریکه برای هر زیرگروه t-بلند a از g داشته باشیم (type (l) ≤ type (a. در مرحله ی بعد گروههای آبلی از رتبه بی تاب یک که همه ی زیرگروههای t-بلندشان ایزومورف باشند را مشخص می کنیم.

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. اصل ایده آل اول بیان می کند که اگر f یک خانواده ی آکو یا اوکا از ایده آل های r باشد، آنگاه(max(f?) ? spec(r که در آن f مکمل f است. فرض کنیم f یک خانواده ی نیم فیلتر از ایده آل های r باشد و هر زنجیره غیرخالی در f (با رابطه ی شمول) دارای کران بالایی در f باشد، در این صورت همه ی خواص مذکور در دیاگرام استنباطی زیر معادل هستند: (p?) =? (p?) =? (p?) =? str.ako =? ako ? ? ? str.oka =? oka =? p.i.p فرض کنیم f خانواده ای از ایده آل ها در یک حلقه ی منظم فون نیومن r باشد، بطوری که r ? f. در این صورت هر یک از شرایط (p2) و (p3) معادل با منوئیدال بودن f است.

در چند دهه ی اخیر تأثیر اعمال شرایط حسابی معینی بر طول کلاس های تزویج گروه متناهی ‎g‎ به طور گسترده مورد توجه متخصصین نظریه ی گروه بوده است. در این پایان نامه ساختار گروه متناهی ‎g‎ را وقتی که طول کلاس های تزویج عضو های ‎p‎-منظم منحصراً اعداد ‎1‎ و ‎m‎ هستند، تعیین می کنیم. در قضیه ی ‎a‎، ثابت می کنیم که اگر ‎g‎ گروه متناهی ‎-p‎حلپذیر باشد و ‎{1‎, ‎m}‎ مجموعه ی طول کلاس های تزویج ‎p‎-منظم از g‎، آنگاه ‎$m=p^aq^b،‎که در آن ‎p‎ و ‎q‎ عددهای اول متمایز بوده و a و b بزرگتر مساوی صفر است‎. اگر‎b=0‎ آنگاه ‎g‎ دارای ‎p‎-متمم آبلی است. اگر b مخالف صفر باشد،‎ آنگاه ‎g=pq*a‎ که در آن p و q به ترتیب متعلق به مجموعه ی p-زیرگروههای سیلو و q-زیرگروههای سیلو است و ‎a در مرکز g قرار دارد‎. بعلاوه, اگر ‎a=0‎ آنگاه ‎g=p*q*a$‎. در دومین نتیجه ی اصلی تحت عنوان قضیه ی ‎b‎، ساختار گروه مطرح شده در قضیه ی ‎a‎ بدون شرط ‎p‎-حلپذیری معین می شود.

در سال های اخیر موضوع بسیار مهمی که توسط متخصصین نظری? گروههای متناهی مورد مطالعه قرار گرفته این است که درباره ساختار گروه متناهی ‎ g ‎ چه می توان گفت هرگاه اطلاعاتی از ساختار حسابی con، مجموعه کلاسهای تزویج g معلوم باشد. در خیلی از مقالات پاسخهایی برای بسیاری از حالتها داده شده است.