در این رساله ابتدا روش های طیفی و آنالیز فوریه معرفی و خواص همگرایی آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته لژاندر و چبیشف و ویژگی های آنها پرداخته می شود. با استفاده از ویژگی های این چندجمله ای ها، ماتریس های عملگر مشتق معمولی و مشتق کسری کاپوتو برای این چندجمله ای ها محاسبه می شوند. همچنین کاربرد این چندجمله ای ها همراه با ماتریس های عملگر آنها برای حل معادلات لایه مرزی در حوزه ی مکانیک سیالات و معادلات دیفرانسیل کسری مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در ادامه موجک های لژاندر و چبیشف معرفی و ماتریس های عملگر مشتق این موجک ها تعیین می شوند. با تعمیم این ماتریس های عملگر مشتق به مشتق کسری کاپوتو، ماتریس های عملگر مشتق کسری برای این موجک ها نیز بدست آورده می شوند و یک روند کلی برای محاسبه این ماتریس ها معرفی می شود. سپس همگرایی پایه های موجک و بویژه موجک لژاندر و چبیشف مورد بررسی قرار خواهد گرفت. با استفاده از پایه های چندجمله ای انتقال یافته و موجک های لژاندر و چبیشف همراه با ماتریس های عملگر آنها، حل معادلات تابعی گوناگون مانند معادلات دیفرانسیل سخت، معادلات ریکاتی، معادلات مقدار مرزی تکین و معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه، هدف بهینه سازی گذردهی سیستم رادیوشناختگر و محاسبه توأم پارامترهای بهینه زمان پویش طیف و توان ارسالی کاربران ثانویه در حالتی است که حفاظت کافی از کاربران اولیه به عمل آید. رادیوی شناختگر، روشی برای استفاده کارآمد از طیف است که از وجود حفره های فرکانسی برای دسترسی فرصت طلبانه به طیف استفاده می کند. از آن جا که گذردهی شبکه رادیوشناختی، معیاری مهم برای ارزیابی کارایی شبکه به شمار می آید، بیشینه سازی آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در مدل پیشنهادی، کاربران ثانویه براساس تصمیمی که در مورد حضور یا عدم حضور کاربر اولیه اتخاذ می کنند و موقعیت واقعی کاربر اولیه، سطوح توان خود را تنظیم می نمایند. برای بیشینه سازی گذردهی، دو سناریوی تک کاربره و مشارکتی را در نظر می گیریم. پویش مشارکتی طیف برای بهبود عملکرد پویش طیف %و یا به بیان دیگر آشکارسازی بهتر حفره های طیفی پیشنهاد می شود. بدین منظور، از آشکارسازهای انرژی (آشکارسازی با پیچیدگی محاسباتی کم) و نیمن-پیرسون (آشکارساز بهینه) برای بهینه سازی توأم زمان پویش طیف و تخصیص توان بهره می گیریم. در شبکه مشارکتی رادیوشناختی، آشکارسازی متمرکز و توزیعی را بررسی می کنیم. در آشکارسازی متمرکز، کلیه مشاهدات کاربران ثانویه به مرکز ادغام ارسال می شوند، در صورتی که در آشکارسازی توزیعی، هر گیرنده با انجام برخی پردازش های اولیه روی مشاهده دریافتی، حاصل را به مرکز ادغام ارسال می کند و در آن جا براساس یک قاعده تصمیم گیری، تصمیم نهایی اتخاذ می شود. %مرکز ادغام با دریافت کلیه مشاهدات از کاربران ثانویه و جمع وزن دار آن ها عمل آشکارسازی را انجام می دهد درصورتی که در آشکارسازی توزیعی، هر گیرنده با انجام برخی پردازش های اولیه روی مشاهده دریافتی، حاصل را به مرکز ادغام ارسال می کند و در آن جا براساس قواعد تصمیم گیری مختلف از جمله and ،‎or‎ و نیمن - پیرسون، تصمیم نهایی اتخاذ می شود. ما در مدل مسأله خود، قیودی بر توان ارسالی و تداخلی متوسط و حداقل احتمال آشکارسازی موردنیاز شبکه برای حفاظت از کاربر اولیه در نظر گرفته و با استفاده از روش لاگرانژ به حل آن می پردازیم. به طور خلاصه، توأماً زمان پویش طیف و توان ارسالی بهینه را برای کاربران ثانویه در دو حالت حضور و عدم حضور و برای دو سناریوی تک کاربره و مشارکتی به دست می آوریم، حال آن که در مراجع موجود، تنها یک توان ارسالی برای کاربران ثانویه در حالت حضور کاربر اولیه در نظر گرفته شده است. علاوه بر این، نتایج حاصل در حالت مشارکتی نیز تعمیم می یابند. نتایج شبیه سازی نشان می دهند توان ارسالی و زمان پویش طیف بهینه نقش مهمی در بیشینه سازی گذردهی سیستم رادیوشناختی دارند.

هدف از این پایان نامه مطالعه روشی عددی برای حل مسئله انتخاب سبدسهام بهینه با محدودیت های کراندار می باشد که ماکزیمم امیدریاضی تابع مطلوبیت را نتیجه دهد. ایده اصلی این روش تقریب با استفاده از زنجیرهای مارکوف می باشد. در روش تقریب با زنجیر مارکوف، فرآیند کنترل شده اصلی با یک زنجیر مارکوف کنترل شده مناسب روی فضای حالت متناهی تقریب زده می شود، که احتمالات انتقال این زنجیر مارکوف با استفاده از اصل برنامه ریزی پویا و معادله هامیلتون-ژاکوبی-بلمن متناظر با آن بدست می آید. در ادامه پس از بیان تعاریف و مفاهیم لازم و معرفی مسئله انتخاب بهینه پرتفوی به حل آن با استفاده از زنجیرهای مارکوف تقریبی می پردازیم و سپس نتایج مربوط به شبیه سازی روش معرفی شده را ارائه می کنیم.

برای حل یک دستگاه خطی در ابعاد بزرگ‏، روش های تکراری کلاسیک دارای سرعت همگرایی پایینی هستند. لذا برای حل این مسائل از روش های جدید مانند روش گرادیان مزدوج‏، روش پیش شرط ساز گرادیان مزدوج و روش پیش شرط ساز گرادیان مزدوج محدود شده استفاده می شود‏، ماتریس ضرایب دستگاه حاصل از این روش ها دارای عدد شرطی کوچکی هستند که خود موجب تسریع در همگرایی جواب می شود. در روش پیش شرط ساز گرادیان مزدوج محدود شده‏، ماتریس های پیش شرط ساز را می توان از روش های مختلف از جمله روش تجزیه چولسکی ناقص و روش ‎$ ssor $‎ به دست آورد.