در این رساله به بررسی ویژگی واکر بودن روی فضاهای متقارن گسترش یافته سره 4 بعدی می پردازیم. بر اساس رده بندی که قبلا برای این فضاها ارائه شده همه متریک های متقارن گسترش یافته چهار بعدی سره در چهار کلاس ‎$a$‎، ‎$b$‎، ‎$c$‎ و ‎$d$‎ قرار می گیرد. به جز کلاس ‎$c$‎ که لورنتسی است در بقیه کلاسها متریک دارای علامت ‎$(4,0)$‎، ‎$(2,2)$‎ یا ‎$(0,4)$‎ است. نتیجه های به دست آمده از مطالعه ساختارهای واکر در این رساله نشان می دهد که همه متریک های متقارن گسترش یافته از نوع ‎$a$‎ با علامت خنثی، نوع ‎$b$‎ یا نوع ‎$d$‎ دارای دو توزیع تبهگون مکمل کاملا پوچ هستند. همچنین نوع ‎$c$‎ از این متریکها دارای یک توزیع تبهگون بخشی پوچ از نوع ‎$(1,2)$‎ است. بنابراین بجر حالت ریمانی نوع ‎$a$‎ که آشکارا واکر نیست، ‎همه متریک های شبه ریمانی متقارن گسترش یافته سره واکر هستند‎.}‎ همچنین به مطالعه ویژگی خود دوگانی‎ و پاد خود دوگانی‎ روی متریک های نوع ‎$a$‎، ‎$b$‎ و ‎$d$‎ پرداخته و ثابت می کنیم که همه خمینه های ناتخت همدیس متقارن گسترش یافته سره ‎(پاد)‎ خود دوگان، لزوما از نوع ‎$b$‎ هستند‎. مشابه آنچه برای فضاهای متقارن گسترش یافته انجام شد مطالعه هایی نیز روی فضاهای همگن ناکاهشی 4 بعدی انجام شده و نتایج ارائه می شود.