چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

با اینکه درونیابی داده ها در بسیاری از کتب آنالیز عددی مطرح گشته و اکثر مباحث این رشته در اساس، متکی بر نوعی درونیابی می باشد، اما تا کنون درونیاب های کسری باری سنتریک، مورد بحث و بررسی جدی قرار نگرفته اند. درونیاب کسری اغلب تقریب بهتری نسبت به چندجمله ای های درونیاب، مخصوصاً برای تعداد زیادی از نقاط (گره ها) و توابع کسری می دهد. اگر تابعی داشته باشیم که دارای مجانب باشد بهترین درونیاب برای آن استفاده از درونیاب کسری است، اما کنترل موقعیت مجانب ها امری دشوار است. با تغییر اندکی در درونیاب کسری و استفاده از چندجمله ای درونیاب لاگرانژ، به درونیاب کسری باری سنتریک می رسیم. نشان خواهیم داد خانواده جدید درونیاب کسری، درونیاب کسری باری سنتریک، دارای مجانب حقیقی نیست و از مرتبه تقریب بالایی نسبت به سایر درونیاب ها برخوردار است.علاوه بر این به بررسی مرتبه همگرایی مشتق های خانواده درونیاب باری سنتریک، استفاده از آن به عنوان کوادراتور و همچنین کاربرد آن در حل معادلات مقدار مرزی خواهیم پرداخت.

با نگاهی گذرا به جهان اطراف خود می توانیم انبوهی از مسایل و پدیده هایی را مشاهده کنیم که به گونه ای به مسایل معادلات انتگرال – دیفرانسیل مربوط می باشند. معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیرخطی در زمینه های مختلفی از جمله دینامیک سیالات، فیزیک پلاسما، زیست شناسی و شیمی استفاده می شود. در عمل تحلیلی برای چنین معادلاتی وجود نداشته و یا حصول آن بسیار سخت است. بنابراین در سال های اخیر، تکنیک های مختلف عددی برای دستیابی به جواب این گونه معادلات پیشنهاد شده است. این روش ها به دنبال حصول پاسخ تقریبی برای معادلات انتگرال – دیفرانسیل غیرخطی هستند. بعضی از این روش ها عبارتند از: روش آدومیان، روش هوموتوپی، روش اسپلاین، روش چند جمله ای های تیلور، ترکیب تبدیل لاپلاس، روش آدومیان و روش پاسخ حد بالا و پایین. در این پایان نامه، از یک روش کارآمد بر پایه پاسخ های حد بالا و پایین در به وجود آوردن دو دنباله از پاسخ های حد بالای در حال کم شدن و حد پایین در حال زیاد شدن است که به پاسخ معادله ها همگراست، استفاده می کنیم. در فصل اول، مقدماتی از آنالیز ریاضی را بیان کرده و به معرفی برخی از چند جمله ای ها مورد استفاده می پردازیم. در فصل دوم، روش های انتگرال گیری عددی را معرفی کرده و ویژگی های آنها را مطرح کرده واشکالات عمده آنها را بررسی می کنیم. در فصل سوم، مقدماتی از معادلات انتگرال و معادلات انتگرال دیفرانسیل را بیان می کنیم، به انواع این معادلات می پردازیم و روش های حل آنها از جمله: روش های تصویری و هم مکانی و گالرکین را بیان می کنیم. در فصل چهارم، پاسخ های حد بالا و همچنین مراحل در حال افزایش پاسخ های حد پایین برای یک دسته از معادلات بیضوی غیر خطی ارایه شده است. یکنواختی هر دو مرحله اثبات شده است و بر پایه پاسخ های حد بالا یک الگوریتم برای حل معادلات دیفرانسیل خطی ارایه شده است. علاوه بر این یک الگوریتم کارآمد بر پایه یک روش یکنواخت برای حل یک دسته از معادلات انتگرال دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه 2 و قضیه هایی که نشان از وجود چنین دنباله هایی را می کنند ارایه شده است. در فصل پنجم، نتایج عددی الگوریتم جدید فراهم شده است.

در این پایان نامه یک روش طیفی لژاندر هم محلی برای حل یک نوع معادله دیفرانسیل تاخیری از نوع پانتوگرافی به فرم ‎ u(x) = a(x) u(qx) u(0) = y0 ارائه می کنیم. که در آن 0 <‎ q‎ <‎‎ ‎1‎ یک ثابت مفروض و a(x)‎ یک تابع هموار روی ‎ [0‎ ,‎t] ‎ است. برای سهولت روش طیفی را روی بازه استاندارد ‎ i = [-1‎ , ‎1] ‎ شرح داده و تجزیه تحلیل خواهیم کرد. ‎ بعلاوه، همگرایی آن را نیز مورد بررسی قرار می دهیم. در انتها برای نمایش نتایج تحلیلی، کارایی بالا و دقت روش ارائه شده تعدادی مثال مطرح و بررسی می کنیم.

در این پایان نامه یک روش هم محلی طیفی بر اساس درونیابی کسری ونقاط درونیاب تطبیقی ارائه خواهد شد. درونیاب کسری توابع تحلیلی را با دقت نمایی و بر اساس ضرایب وزنی باری سنتریک تقریب می زند. موقعیت نقاط درونیابی بر اساس نقاط منفرد تابعی تعیین می گردد که می خواهیم آنرا تقریب بزنیم.مختصات نقاط منفرد(قطبها)از صفرهای تقریب پده چبیشف بدست آیند.سپس به کمک یک نگاشت همدیس و مختصات قطبها،سعی در بردن نقاط چبیشف به صفحه مختلط و دور کردن آنها از قطبها خواهیم کرد.دوباره با نقاط اصلاح شده به کمک آن نگاشت،سعی می کنیم تا با درونیابی باری سنتریک تقریب بهتری از جواب بدست آوریم. در انتها چند مثال عددی ویکسری مسائل pde با این روش را مورد مطالعه قرار می دهیم و کد آنها در نرم افزار متلب ارائه شده است.

این پایان نامه به بحث درمورد یافتن تقریب مناسب برای توابع منفرد می پردازد، یکی از ابزار های مورد استفاده در نرم افزار متلب سیستم چبفان می باشد که در آن با استفاده از چند جمله ای های چبیشف می توان برای توابع در خط حقیقی تقریب های مناسبی را ارائه کرد. اما این سیستم برای توابع منفرد دارای محدودیت هایی می باشد.ما به دنبال پاسخی برای یک سوال مهم و اساسی هستیم آیا روش چبیشف را می توان با روش تابع سینک برای رویارویی با نقاط تکین انتهایی جایگزین کرد. به طور خلاصه به نظر می رسد که تنها راه رسیدن به یک پاسخ قابل اعتماد گسترش یک سیستم نرم افزاری سینک فان بعد از مدل چبفان است،زیرا که چبفان دارای طیف گسترده ای ازقابلیت هایی مانند عملیات جبری،ترکیب توابع،انتگرال گیری،مشتق گیری و ریشه یابی است.تمام سعی ما بر این است که هر یک از قابلیت های چبفان را با یک الگوریتم سینک مطابقت دهیم. سینک فان که در این پایان نامه شرح خواهیم داد،عملیات جبری،ترکیب توابع،مشتق گیری و ریشه یابی را برای یک تابع xlogx را به سرعت اجرا می کند.تمام هدف روش تابع سینک رسیدن به انعطاف پذیری در رفتار تکینه ها در نقاط انتهایی است.

با انگیزه دهی مشکلِ در حال توسعه ی روش های دقیق و روش های زمان - گامیِ پایدار‏، برای معادلات پتانسیلی تک لایه‏ ای‏، برای پراکندگی صوتی یک سطح، ما نتایج همگرایی جدیدی را حاضر کردیم که برای تقریب های چندجمله ای تکه ای گالرکین ناپیوسته ‎$dg‎‎‎‎$‎ از یک معادله ی انتگرالی ولترا‎‏ی نوع اول از نوع هسته ی پیچشی است، که هسته ی ‎$‎‎‎k‎$‎ ‎‏هموار و در ‎$‎k(0) ‎ eq 0‎‎‎‎‎‎$‎‏ صدق می کند. ما نشان می دهیم که یک تقریب ‎$‎‎‎dg‎$‎‏ درجه ی ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ام همگرایی کلی مرتبه ی ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ را می دهد‏، هنگامی که ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ فرد باشد و مرتبه ی ‎‏‎$‎‎‎m+1‎$‎ را می دهد‏، هنگامی که ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ زوج باشد. یک ‎‏فوق همگرایی محلی از یک مرتبه بالاتر نیز وجود دارد.( برای مثال، مرتبه ی ‎$‎‎‎m+1‎$‎ هنگامی است که ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ فرد است و مرتبه ی ‎‏‎$‎‎‎m+2‎$‎ هنگامی است که ‎‏‎$‎‎‎m‎$‎ زوج است.) اما در حالت مرتبه زوج، فوق همگرایی هنگامی وجود دارد که جواب دقیق ‎$‎‎‎u‎$‎ معادله، ‎‏در ‎$‎u^{m+1}(0)=0‎‎‎‎‎$‎ صدق کند. ما هم چنین نتایج آزمون های عددی را آورده ایم که نشان می دهد که میزان همگرایی تئوریکی، بهینه است.

در این پایانامه ، یک روش طیفی هم محلی ژاکوبی برای معادلات انتگرال ولترا از نوع دوم با هسته منفرد ضعیف به فرم کلی زیر مورد بررسی قرار می گیرد y(t)=g(t)+?_0^t?(t-s)^(-µ) k(t,s)y(s)ds در این روش که از مرجع [1] برگرفته شده است ابتدا با استفاده از عملگرهای تبدیل و تغییر متغیرها این معادله را به یک معادله انتگرال جدید که روی فاصله استاندارد [-1,1] تعریف شده است تبدیل می کنیم. بنابراین جواب این معادله جدید دارای بهترین نظم است و قضیه چندجمله ایهای متعامد ژاکوبی به طور مناسب اعمال می شود. به منظور گرفتن بالاترین مرتبه دقت برای تقریب، جمله انتگرال در معادله آخر به وسیله قانون انتگرال گیری طیفی ژاکوبی تقریب زده خواهد شد.درجه همگرایی این روش طیفی در نرم l^? و نرم l^2 وزن دار بررسی شده است نتایج عددی نشان داده شده تاثیرگذاری این روش را تائید می کند.

روش های هم محلی طیفی دارای دقت بالایی در حل معادلات دیفرانسیل می باشند و معمولا بهترین دقت را با تعداد نقاط کمتر ارائه می دهند .پیاده سازی این روش ها شامل استفاده از ماتریس های دیفرانسیل گیری طیفی می باشد ،این پایان نامه به روش های هم مکانی طیفی که بر درون یابی بر نقاط هم محلی تکیه دارد می پردازد نشان می دهیم که برای محاسبه ماتریس های معرفی شده فقدان دقت به علت خطای روند کردن می باشد و روش های بهبود معرفی و مقایسه می شود