فرض کنید یک حلقه است عنصر ? a را قویاً کلین نامند هرگاه a = + که و به ترتیب عنصر خودتوان و یکه حلقه هستند وضمناً = . حلقه را قویاً کلین نامند هرگاه هر عضو آن قویاً کلین باشد. در این تحقیق شرایطی را روی حلقه موضعی مانند بررسی می کنیم که نتیجه می دهند یک حلقه قویاً کلین است.در ضمن نشان می دهیم که این حالت برای حلقه های موضعی جابجایی و بعلاوه تحت شرایطی برای حالت های دیگر از حلقه های موضعی نیز برقرار است

در این پایان نامه به دو روش یکی ب روش جبر خطی و دیگری به روشی که از تعریف خاصی از تجزیه چند جمله ای های تکین به دست می آید روابط و شرایط هم ارزی را برای قویا کلین بودن حلقه ماتریس های 2×2 روی حلقه های موضعی به دست می آوریم.

یک عنصر از حلقه ی یکدار r را قویاً کلین گوییم هرگاه مجموع یک عنصر خود توان و یک عنصر یکه باشد که با هم جابجا می شوند و r را قویاً کلین نامیم اگر هر عنصر r، قویاً کلین باشد. در این پایان نامه ضمن معرفی کامل حلقه های کلین و قویاً کلین تعیین می کنیم که چه موقع یک ماتریس 2×2 ، a روی یک حلقه ی موضعی جابجایی قویاً کلین است. در ضمن برای اینکه یک ماتریس قویاً کلین شود چند معیار معادل ارائه خواهد شد. در ادامه شرایط معادلی را برای حلقه ی ماتریس 2×2 روی یک حلقه ی موضعی جابجایی به دست می آوریم تا قویاً کلین شود. همچنین اگر r یک حلقه ی موضعی ناجابجایی باشد، ضابطه ای در نوع حل پذیری یک معادله ی ساده ی درجه ی 2 در r برای این که m2(r) قویاً کلین باشد، فراهم شده است و همچنین به بررسی کِلینس قوی حلقه ی ماتریس های 2×2 روی یک حلقه ی موضعی کلی خواهیم پرداخت. سرانجام پیشنهادات و نتایج به دست آمده از این تحقیق در فصل پایانی به علاقه مندان ارائه می گردد.

حلقه‏ی کلین است هرگاه برای هر یک عضو خودتوان موجود باشد، به‏طوریکه وارون‏پذیر باشد. در فصل اول از این پایان‏نامه پس از بیان مقدمات و مفاهیم اولیه به معرفی حلقه‏های تبادلی، منظم و کلین پرداخته شده است. حلقه‏ی به‏طور منحصر‏به‏فرد کلین است هرگاه برای هر یک عضو خودتوان منحصر‏به‏فرد موجود باشد، به‏طوریکه وارون‏پذیر است. در این پایان‏نامه شرایط معادل برای حلقه‏های به‏طورمنحصر‏به‏فرد کلین مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. برای مثال نشان می‏دهیم حلقه‏ی به‏طور منحصر‏به‏فرد کلین است اگروتنهااگر یک حلقه‏ی تبادلی، همه اعضای خودتوان‏ از حلقه مرکزی باشند و برای هر ایده‏آل ماکزیمال از داشته باشیم . سپس به بیان نتایج سودمندی از این قضیه پرداخته شده است. حلقه‏ی به‏طور منحصر‏به‏فرد پوچ کلین است هرگاه برای هر یک عضو خودتوان منحصر‏به‏فرد موجود باشد، به‏طوریکه پوچتوان است. در [11] نشان داده ‏شده است که هر حلقه پوچ کلین، کلین است. در این تحقیق ارتباط حلقه‏های به‏طورمنحصر‏به‏فرد کلین و به‏طور منحصر‏به‏فرد پوچ کلین به‏صورت زیر بیان شده است: هرحلقه‏ی به‏طور منحصر‏به‏فرد کلین که هر ایده‏آل اول از آن ماکزیمال است، به‏طورمنحصر‏به‏فرد پوچ کلین است. بعلاوه ثابت می‏کنیم که حلقه‏ی به‏طور منحصر‏به‏فرد پوچ‏کلین است اگروتنهااگر ، حلقه‏ی - منظم با خودتوان‏های مرکزی و حلقه‏ی بولی باشد

مفهوم عنصر منظم - یکه، نخستین بار توسط ارلیچ معرفی گردید. طبق ]13[ عنصر x در حلقه r منظم- یکه است اگر و فقط اگرx=xux که u?u(r). به آسانی می توان بررسی کرد که عنصر x منظم - یکه است اگر و فقط اگر x حاصل ضرب یک عنصر خودتوان در یک عنصر یکه باشد. همانطور که از نامشان پیداست، عنصرهای منظم - یکه، منظم هستند. ارلیچ، یک حلقه را منظم - یکه نامید اگر همه عنصرهای آن منظم - یکه باشند. حلقه هایی از این نوع به طور گسترده در مبحث حلقه های فون نیومن منظم مطالعه می شوند]15، بخش4[. به طور مشابه، عنصرهای کلین در حلقه ها توسط نیکلسون معرفی شدند. در [28] عنصر x از حلقه r کلین نامیده می شود اگرx مجموع یک عنصر خودتوان و یک عنصر یکه در حلقه r باشد و حلقه r کلین است اگر همه عنصرهای r کلین باشند. چنین حلقه هایی مورد علاقه اند زیرا یک زیررده از حلقه های تبادلی در نظریه حلقه های ناجابجایی تشکیل می دهند. رابطه بین کلین بودن و منظم - یکه بودن به نظر نسبتاً دقیق و نزدیک به هم است. نیکلسون این پرسش را مطرح کرد که آیا یک حلقه منظم - یکه، کلین است؟ در [9] یا به طور صحیح تر، کامیلو و خورانا در[7] نشان دادند هر حلقه منظم - یکه، کلین است. این اثبات، پرسش نیکلسون را پاسخ می دهد اما این پاسخ به قدری کلی است که پاسخ این پرسش را نمی دهد که آیا یک عنصر منظم - یکه تنها در حلقه r کلین است. درکل اگر عنصر x?r شکل eu داشته باشد به طوری که e یک عنصر خودتوان و u یک عنصر یکه باشد که با e جابجا شود آنگاه با نوشتن f=1-e خواهیم داشت: x=f+(eu-f) کلین است، ازآنجاییکه f خودتوان است و eu-f یک یکه با معکوس eu¯^1-f (و جابجایی با f). این نشان می دهد که در هر حلقه ای که خودتوان ها مرکزی هستند (حلقه جابجایی، حلقه موضعی یا حلقه کاهش یافته) هر عنصر منظم - یکه، درحقیقت کلین است. به طور کلی تر، در ]29، قضیه 1[ نیکلسون نشان داد که اگر x?r چنان باشد که(n?1) x^n=eu=ue که e=e^2 وu?u(r) آنگاه x کلین است. این قضیه نتیجه می دهد که هر حلقه قویاً ?- منظم کلین است. به ویژه، هر حلقه آرتینی راست (حلقه متناهی) کلین است. نتیجه دیگری از هان و نیکلسون در [18] نشان می دهد که هر ماتریس (متناهی) روی یک حلقه کلین، کلین است. هدف اولیه این تحقیق نشان دادن این است که در یک حلقه ناجابجایی، عنصرهای منظم - یکه، لزوماً کلین نیستند. به طور طبیعی بهترین مکان برای جستجوی مثال هایی برای آن، خانواده انواع مختلف حلقه های ماتریسی روی حلقه جابجایی k است. اولین تلاش، کار با حلقه ماتریس های بالامثلثیt_n (k) روی k مثال مطلوب را به وجود نمی آورد. درحقیقت، می توان نشان داد که عنصرهای منظم - یکه، همیشه در t_n (k) کلین می باشند. از این رو، حلقه های ماتریس کامل m_n (k) مورد بررسی قرار می گیرند. اولین مثال از ماتریس های مثلثی ویژه، ماتریسی به شکل a=(?(a&b@0&0)) (روی حلقه جابجایی مناسبk) است. مسأله با اثبات ضابطه کلی برای کلین بودن a=(?(a&b@0&0))، در حلقهm_2 (k) حل می گردد. از این رو، در این ضابطه، نشان داده می شود (?(1+xy &x^2@0&0)) (مشتق ماتریس کوهن در[12] ) منظم- یکه است اما روی k=k[x,y] برای هر دامنه صحیح k کلین نیست. با محدود کردن ضابطه کلین بودن برای مورد k=z نیز به طور الگوریتمی روش خیلی ساده برای تصمیم گیری کلین بودن ماتریس هایی به شکل (?(a&b@0&0)) روی حلقه z به دست می آید. به ویژه می بینیم انتخاب های (a,b)=(2,5),(13,5),(12,7),… کلین نیستند.

ارائه روش مناسب برای بررسی ساختار یک حلقه در جبر ناجابه جایی از اهم موضوعاتی است که محققان این رشته به آن پرداخته اند. ‎‎‏نتایج به دست آمده حاکی از این مطلب است که ‏اتحادهای دیفرانسیلی ابزار مفیدی در بررسی ساختار یک حلقه محسوب می شوند. از آن جمله با اعمال یک اتحاد دیفرانسیلی مناسب روی یک حلقه اول می توان به خاصیت جابه جایی روی حلقه دست یافت. در این رساله ‏ با استفاده ‏از روش های جبری‏، نکات زیر مورد بررسی قرار می گیرند. ‎(1) فرض‎ کنیم r‎‏ یک حلقه اول‏،m,n,k?1‎‏ عددهای ثابت صحیح، d یک‏ مشتق‏ و h‎‏ و ‎g ‎‎‏ مشتق های تعمیم یافته روی r باشند. بررسی اتحادهای دیفرانسیلی ذیل روی حلقه r‎‏ برای پی بردن به ساختمان حلقه و نیز ارائه شرایطی خاص بر روی مشتق های موجود در معادلات‏، در دستور کار ‏ اصلی این رساله قرار دارد. تعریف می کنیم‏، نگاشت جمعی ?:r?r به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی r اثر می کند هرگاه برای هر x,y?r ،‎‎ ‎‏ ?(xy)^n=?(x)^n ?(y)^n (=?(x)^2n ?(x)^2n) .بر این اساس نخست‏، اتحادهای دیفرانسیلی ‎‏را در نظر می گیریم که مشتق موجود در آنها به صورت همریختی تعمیم یافتهn -ام (همریختی جردن تعمیم یافته n -ام) روی حلقه اول یا ایده ال های خاصی از آن اثر کنند.‎ با در نظر گرفتن اتحاد دیفرانسیلی=0 ‎‎‎?a [[d(x),x]_(n ) ,?[y,d(y)]?_m ]?^t روی حلقه، که در آن 0?a?r است ، شرط جابه جایی حلقه را به دست می آوریم. با بررسی اتحاد دیفرانسیلی (d[x^(m ) y,x]_k )^(n ) =[x^(m ) y,x]_k روی حلقه r می توان از شرط جابه جایی حلقه به عنوان یکی از نتایج به دست آمده نام برد. در تعمیم حالت (iii)، با جایگزین نمودن مشتق تعمیم یافته در اتحادهای مذکور ساختمانی خاص برای حلقه و مشتق تعمیم یافته موجود در اتحاد ارائه خواهیم کرد. با معرفی اتحادهای u^s h(u)u^t?z(r) و= 0 (u^s h(u)u^t )^n که در آنها s,t?0 اعداد صحیح و مثبت می باشند، روی ایده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرط جابه جایی حلقه و شرایطی خاص برای مشتق به دست می آوریم. بررسی اتحاد دیفرانسیلی h(u^2 )^n=g(u)^2nروی ایسده ال های لی غیر مرکزی از حلقه شرایطی خاص روی مشتق تعمیم یافته موجود ارائه خواهیم کرد. (2) در توسیع تعدادی از نتایج به دست آمده روی حلقه های اول شرایطی را مطالعه می کنیم که r یک حلقه نیم اول باشد.‎‎ (3) به عنوان تعمیمی دیگر از قضایای مطرح شده بر روی حلقه های اول‏، در بعضی از حالات به بررسی اتحادهای دیفرانسیلی شامل مشتق (مشتق تعمیم یافته) کران دار و طیفی کران دار روی جبرهای باناخ ناجابه جایی می پردازیم.

حلقه را برگشت پذیـر گوییم هرگـاه برای هر از نتیجـه بگیریم . دراین پایان نامه، ارتبـاط بیـن حلقـه های برگشت پذیر با شرط سازگاری را بدست می آوریـم. لازم بـه ذکراســت کـه حـلقـه را سـازگـار گــویـیـم هـرگـاه بــرای هــر ، اگـرو فقـط اگـر . همچنین حـلقه را -سـازگار گوییـم هرگاه برای هر ، آن گاه . اگـر ، سـازگـار و -سـازگـار باشـد آن گـاه را -سـازگار گــوییم. در ادامه ارتباط بین حـلقه برگشت پذیر با شرط مک کوی را بررسی می کنیم که در این راستا با قضایای ساختاری جالبی مواجه می شویم.