فرض کنید g یک گروه فشرده آبلی و ? گروه دوگان g باشد. در این پایان نامه عملگر ضربگر t? روی (a(g که ? عنصری از(?? (? می باشد بررسی شده است . برای نمونه این سوال مطرح شده است که اگر f یک تابع دارای مربع انتگرال پذیر نسبت به اندازه ی هارگروه g باشد، برای تابع ? = f چه موقع عملگر 1t? - جمعی است . در این راستا ملاحظه می شود دقیقا فضای با ناخ تابعی بهینه( m? )اl1 موجود است که به طور چگال و پیوسته شامل جبر فوریه (a(g می باشد وt? دارای توسیع خطی(a(g – مقدار im? به ( m? )اl می باشد . فضای مناسب وابسته جهت مطالعه ( m? )اl و فضای sp (1 ? p ? ?)متشکل از تمام توابع در (lp (gاست که سری فوریه آن در (lp (gهمگرای غیر مشروط باشد . در این پایان نامه ثابت شده است که 1t? -جمعی است اگر و تنها اگر t? هسته ای باشد ، اگر و تنها اگر اندازه بردار(m? (e) := t? (?e با تغییر متناهی باشد . همچنین ثابت می شود که( m? )اl یک فضای باناخ همگن و در نتیجه یک جبر باناخ و یک (l1(g - مدول تحت ضرب پیچشی است .