هدف در این رساله معرفی موجک های پذیرفتنی روی فضاهای همگن می باشد که برای این منظور نمایش انتگرال پذیر مربعی از فضای همگن ‎$g/h$‎ به فضای هیلبرت ‎$mathcal{h}$‎ را تعریف می کنیم و سپس موجک پذیرفتنی روی این نمایش از فضای همگن ‎$g/h$‎ نسبت به اندازه به طورنسبی پایا معرفی می گردد. تبدیلات موجک پیوسته برای نمایش انتگرال پذیر مربعی از فضای همگن تعریف می شود و نشان داده می شود برد آن به عنوان یک هسته بازتولید فضای هیلبرت است. هم چنین برای یک موجک پذیرفتنی از نمایش انتگرال پذیر مربعی از فضاهای همگن، عملگر کراندار موضعی کننده تعریف می شودو نشان داده می شود که این عملگر فشرده است و در کلاس ‎$p$-‎شاتن قرار دارد‎.‎ پس از معرفی یک موجک پذیرفتنی، ثابت دو-موجکی برای نمایش انتگرال پذیر مربعی از فضای همگن معرفی خواهد شد و رابطه تعامد برای این نمایش اثبات می گردد. هم چنین وجود عملگر مثبت و خودالحاق منحصربفرد روی مجموعه موجک های پذیرفتنی ‏که در شرط رابطه تعامد صدق کند‏، ارائه می شود و شرط لازم وکافی برای این که این عملگر ضریب ثابتی از عملگر همانی باشد بررسی می گردد‎.‎ درپایان برای دو موجک پذیرفتنی و یک نمایش انتگرال پذیر مربعی از فضای همگن، عملگر موضعی کننده دو-موجکی تعریف می شود و نشان می دهیم که این یک عملگر فشرده است و در کلاس ‎$p$-‎شاتن قرار دارد

در این پایان نامه ‏به معرفی یکی از زمینه های کاربردی موجک در پردازش تصاویر ‏پزشکی می پردازیم. هدف اصلی در این پایان نامه افزایش وضوح تصاویر ماموگرافی برای تشخیص بهتر توده ها در‏ این تصاویر به وسیله موجک ها می باشد. برای این منظور ابتدا مفاهیم موجک های دو بعدی و تبدیل پیوسته‎‎ آن ها را بیان می کنیم و سپس به معرفی انواع موجک های دو بعدی و ارزیابی عملکرد تبدیل موجک پیوسته آن ها می پردازیم. در ادامه الگوریتمی را بیان می کنیم که در آن با استفاده از موجک ها به تشخیص بهتر توده ها در این تصاویر می پردازیم.

در این پایان نامه به بررسی فضاهای تحت انتقال صحیح پایا و قاب ها می پردازیم. هدف اصلی این پایان نامه این است که با بررسی شرایط لازم بر روی فضاهای تحت انتقال صحیح پایا، به توسیعی از این فضاها به قاب ها دست یابیم. برای این منظور مفاهیم مربوط به این فضاها و قاب ها و برخی از خصوصیات آن ها را بیان می کنیم. سپس ساختار این فضاها را بررسی می کنیم. همچنین به بررسی توابع برد و توابع طیف مربوط به این فضاها و رفتار توابع طیف تحت عملگرهای اتساع و مدولاسیون می پردازیم. در پایان توسیعی از فضاهای تحت انتقال صحیح پایا به قاب ها را ارائه می دهیم.

دراین رساله دستگاه های نمایشی مورد نیاز برای پردازش سیگنال را بررسی می کنیم. در این راستا از تبدیل فوریه شروع کرده و پس از بررسی تبدیل فوریه زمان-کوتاه و تبدیل موجک، به تبدیل قیچک پرداخته ایم که بحث اصلی این رساله است. در این رساله گروه قیچک را به شکل یک گروه ضرب نیم مستقیم در نظر گرفته و با استفاده از نمایش شبه منظم آن، زیرنمایش های تحویل ناپذیر و مربع-انتگرال پذیر گروه قیچک را مشخصه سازی می کنیم. ابزار اصلی برای این کار، استفاده از مجموعه های ارگودیک است. همچنین با ایده گرفتن از نمایش شبه منظم گروه قیچک استاندارد، گروه قیچک مجرد و تبدیل قیچک مجرد را تعریف می کنیم و قضایای کلاسیک را برای آنها مورد بحث و بررسی قرار می دهیم. در ادامه مثال های متعددی از یک گروه قیچک مجرد ارائه می کنیم که گروه قیچک استاندارد را به عنوان حالتی خاص شامل می شود. در پایان گروه قیچک را یک گروه ضرب نیم مستقیم لی در نظر گرفته و جبر لی آن را که یک فضای برداری جمع نیم مستقیم است محاسبه می کنیم.