به روی دایره واحد را گروه g یک گروه آبلی فشرده موضعی باشد. گروه همه همومرفیسمهای پیوسته از g فرض می کنیم g^ ، نمایش می دهیم. ارتباط بین یک گروه با گروه دوگان آن را بررسی کرده و ثابت می کنیم g^ نامیده و با g دوگان گسسته باشد. سپس، مولفه راهی یک گروه آبلی فشرده موضعی و گروه دوگان آن را تعریف g فشرده است اگر و فقط اگر چگال است. در ادامه مفهومی به g در مولفه همبند همانی 0 ga ، یعنی g کرده و نشان می دهیم مولفه راهی عنصر همانی نام دوگان گسسته را معرفی کرده و نشان می دهیم مولفه راهی در یک گروه آبلی فشرده، دوگان گسسته دارد. چون مولفه راهی دوگان گسسته دارد، می توان نتیجه گرفت که مولفه راهی با یک زیر گروه بسته اشتراک دارد، آنگاه بررسی می کنیم تحت چه شرایطی این اشتراک در زیر گروه بسته چگال است. این پایان نامه بر اساس [ 3] نگاشته شده و شامل چهار فصل می باشد. در فصل صفر تعاریف و قضایای مقدماتی ارائه می شود که در فصلهای بعد مورد نیاز است. در فصل اول مولفه راهی را در یک گروه آبلی فشرده موضعی مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل دوم به خصوصیات مولفه راهی در گروه آبلی فشرده می پردازیم. در فصل سوم نشان می دهیم اشتراک مولفه راهی با یک زیر گروه بسته چه شرایطی دارد.