دستگاه معادلات خطی ax=bرا در نظر بگیرید. فرض کنید ماتریس a نامنفرد باشد. در این پایان نامه با معرفی فرمول شرمن-موریسون چگونگی به دست آمدن تجزیه ای به شکل {udv^{t برای ماتریس {a_{0}^{-1}-a^{-1 شرح داده می شود، که در آن ماتریس نامنفرد {a_{0 به شکلی انتخاب می شود که معکوس آن به راحتی قابل محاسبه باشد. با استفاده از این تجزیه پیش شرطی برای دستگاه فوق محاسبه خواهد شد که به پیش شرط aism معروف است. روش های مختلف به دست آوردن تجزیه ی فوق منجر به تولید نسخه های متفاوت پیش شرط aism می شود، که در این جا دو نسخه ی سطری و ستونی الگوریتم شرمن-موریسون شرح داده می شود.اگر ماتریس a متقارن و دارای تجزیه ای به شکل {a=ldl^{t باشد، آن گاه ماتریس های l،$d$ و معکوس آن ها به صورت محصول فرعی الگوریتم شرمن-موریسون محاسبه می شوند. نسخه ی سطری الگوریتم شرمن-موریسون $l$ را ستون وار و {l^{-1 را سطر وار تولید می کند، این نکته برای حذف کردن درایه های ماتریس های $l$ و {l^{-1 از روش حذف بر پایه ی معکوس، بسیار حائز اهمیت است. با استفاده از این روش حذف کردن، تجزیه ی {ldl^{t ناقصی محاسبه خواهد شد که پیش شرط bif نامیده می شود. کیفیت نسخه های متفاوت پیش شرط aism، مقایسه ی آن ها با پیش شرط ainv و مقایسه ی پیش شرط های ضمنی bif و rif در این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرد.