نامساویها مهمترین ابزارهای ریاضی محض و کاربردی هستند و حتی از تساویها نیز بسیار مهمترند. اما در تحقیقات و پژوهشهای آموزسش ریاضی توجه کمی به آنها شده است اغلب دانش آموزان درک درستی از تفاوت بین مساویها ونامساویها ندارند. یکی از این نامساویهای بسیار مهم و کاربردی نامساوس میانگین حسابی هندسی است که از اساسی ترین نامساویها در کل ریاضیات میباشد و اثباتهای متعددی توسط ذانشمندان بزرگی همچون پولیا، کوشی، مک لورن ، هاردی، گاوس و ... برای آن ارائه شده است. با توجه به اهمیت ا ین موضوع در این پایان ن تامه ابتدا به موضوع نامساویها و روابط و اهمیت آنها پرداخته و پس از بیان چند نامساوی مهم به نحوه عملکرد دانش آموزان در برخورد با نامساویها میپردازیم. چون رویدادهای تاریخی میتوانند نقش مهمی را د ر یادگیری ریاضی بازی کنند لذا در فصل دوم سیر تالریخی نامساویها ونامساوی حسابی هندسی رابیان نموده ایم در فصل سوم تعدادی از اثباتهای این نامساوی را ارائه نموده و در فصل چهارم مسائل بسیار متنوعی که تکنیک حل آنها نامسوی مذکور میباشد را بیان میکنیم این نامساوی یکی از سلاحهای بسیار مفید در حل مسائل المپیاد ریاضی اسشت و بسیاری از مسائلی که حل آنها به ظاهر سخت و غیر ممکن است با تگکنیک استفاده از این نامساوی به ئراحتی به جواب میرسند. در انتها به مقایسه موردی و همچنین مقایسه و تجزیه و تحلیل اثباتهای ارائه شده پرداخته و نتیج قابل ذکر بیان میشود.این نامسصاوی در کل ریاضیات نقش بسزایی دارد آشنایی دانش آموزان دبیرستان با این نامساوی ضروری است متاسفانه منابع پر از نامساویهای غیر طبیعی است این یکی از دلایل به وجودآمدن ترس در برخی دانش آموزان و دانشجویان است که قادرر به حل نامساویها نیستند حال آنکه نمی دانند حتی ئانشمندان بزرگ هم قادرز به حل این نامساویها نیستند.