هدف در این پایان نامه بررسی وجود و چندگانگی جواب های غیر بدیهی برای سیستم های بیضوی غیر خطی وزن دار شامل نماهای بحرانی، در یک دامنه ی کراندار است. و با استفاده از نامساوی کافاریل- کان- نیرنبرگ و روش های تغییراتی (روش نهری منیفلد) وجود حداقل دو جواب غیر بدیهی وقتی که پارامترهای (, ? ?) به یک زیربازه ی مشخص از r^2 تعلق دارند را اثبات می کنیم. در بخش آخر وجود جواب های ضعیف غیر بدیهی نامنفی را برای یک رده از مسئله های شبه خطی بیضوی شامل نمای بحرانی هاردی- سوبولف و یک تابع تغییر علامت را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج موجود از روش نهری منیفلد و خواص بهترین ثابت هاردی- سوبولف که توسط برزیس و نیرنبرگ توسعه داده شده اند به دست می آیند.