اهداف اصلی این پایان نامه(1) اصلاح تعریف مرسوم مازاد قاب برای قاب های متناهی در فضای هیلبرت است. که توسط تعریف تابع مازاد قاب و سپس در نظر گرفتن بیشینه و کمینه این تابع برای معرفی مازاد بالا و پایین صورت گرفته است. تابع مازاد بر نقاط واقع بر گوی واحد فضای هیلبرت‎ h ‎‎تعریف شده است و تراکم بردارهای قاب را اطراف هر نقطه بیان می کند. که مطابقت بهتری با یک مفهوم شهودی از مازاد قاب برای قاب ها‎‎ی متناهی در یک فضای هیلبرت دارد. بعلاوه‏، لیستی از خصوصیات مطلوب برای مازاد بالا و پایین ارائه می دهیم. و در ادامه یک مشخصه سازی کامل از توابع واقع بر گوی واحد که برای بعضی از قاب ها منطبق با یک تابع مازاد است انجام می دهیم. (2)‎‎ نشان می دهیم هر سطح بیضی وار شامل یک قاب تنگ است. در حالتی که فضای هیلبرت حقیقی و با بعد متناهی است یک برهان الگوریتمی ارائه می دهیم اما درحالتی که فضای هیلبرت با بعد نامتناهی است ابتدا نشان می دهیم که یک عملگر معکوس پذیر مثبت را می توان به مجموع تصاویر خودالحاق (نه لزوماً دوبه‎ دو متعامد) که در توپولوژی عملگر قوی همگرا است‏، تجزیه کرد. ‎‎و با استفاده از آن وجود قاب های تنگ را برای سطح بیضی واری که به وسیله یک عملگر مثبت مشخص می شود‏، اثبات می کنیم. سپس نتیجه می گیریم که در هر فضای با بعد متناهی یا نامتناهی هر عملگر مثبت معکوس پذیر یک عملگر قاب برای یک قاب کروی است.‎ و در مسئله ای هم ارز با این موضوع وجود و ساختار قاب های متناهی را با یک عملگر قاب مفروض بررسی می کنیم.‎‎