گسترش‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ نظریه ی تابع گاما به اثر جان والیس برمی گردد. او تابع فاکتوریل را برای ‎‎$‎‎ ‎n+‎frac{1}{2}‎ ‎$‎‎ ‏به دست آورد. تقریباً پس از گذشت ‎‎$‎‎ 70‎ ‎$‎ ‎‏سال اویلر تابع گاما را به عنوان تعمیمی از تابع فاکتوریل که برای اعداد صحیح مثبت تعریف شده است‏، تعریف نمود. ‎‎ ‎‏اهمیت این تابع در شاخه های مختلف ریاضیات‏، فیزیک و مهندسی نمایان می شود‏، در این شاخه ها از این تابع در توضیح راه حل های مسائل گوناگون استفاده می شود. از جمله مسائل محاسباتی‏، ‏معادلات دیفرانسیل‏، ترکیبیات و آنالیز. در ضمن ما نیازمند چند تقریب و نامساوی برای تابع گامای اویلر هستیم که نامساوی های دقیقی باشند. این مسئله‏، موضوع بسیاری از تحقیقات است که از ‏این میان می توان به کارهای موثر ریاضیدان هایی مانند هورس آلزر اشاره کرد. ‎‎ ‎‏موضوع این پایان نامه مطالعه برخی از نامساوی های مشهور درباره ی تابع گامای اویلر است. ما بر‎ ‎$‎‎ ‎4 ‎$‎ مقاله ی آلزر [2]‏‏، ‎[4]‎‏‏، ‎[5]‎‏ و ‎[6]‎ و یک مقاله ی کاترینا کارتسوبا ‏‎[18]‎ تمرکز نموده ایم. در فصل 1‏، به بیان پیشنیازها می پردازیم. در فصل دوم‏، با استفاده از بسط تابع گامای اویلر که شامل اعداد برنولی اند‏، به مطالعه کران‏ هایی که حاوی این اعدادند می پردازیم. در فصل 3‏، کران هایی که به صورت نمایی اند‏، مطالعه می شوند. فصل 4‏، به کرانی که توسط سرینوسا رامانوجان حدس زده شده است و برای 80 سال پیاپی حل نشده باقی مانده بود‏، می پردازیم. در آخر‏، در فصل 5 کران‏ هایی که شامل توابع سینوس هایپربولیک اند را مورد مطالعه قرار می دهیم. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5‎‎بات ‎‎‎$‎‎‎‎‎ keywords{‏‏تابع گاما‏، تابع دایگاما‏، کاملاً یکنوا‏، نامساویها‏، توابع ستاره گون‏، توابع زبر-جمعی‏}‎ ‎$‎