توسیع مفهوم مشتق غیرصحیح که آن را محاسبات کسری می نامیم، از همان زمان ابداع حساب دیفرانسیل و انتگرال مورد توجه محققین بوده است. اما تا دهه های اخیر از نظر کاربرد چندان مورد توجه قرار نگرفته است. در سال های اخیر دامنه ی کاربرد محاسبات کسری بسیار وسیع شده است. معمولاً استفاده از محاسبات کسری برای مدل های فیزیکی و پروسه های مهندسی باعث بیان بهتر آن ها می شود. معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری در اکثر این مدل ها ظاهر می گردد که متا?سفانه اغلب دارای جواب تحلیلی نیستند. به همین دلیل ما احتیاج به یک روش عددی قابل اعتماد و مو?ثر برای حل اینگونه معادلات داریم. در این پایان نامه به ارایه ی یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری که در علم فیزیک و مهندسی دارای کاربرد های فراوانی هستند پرداخته می شود و جواب های تقریبی آن ها با دقت مناسب بدست می آید. در این تحقیق ضمن معرفی چندجمله ای های لژاندر و چبیشف، با استفاده از خواص چندجمله ای های متعامد و نیز با در نظر گرفتن خواص مشتقات کسری از نوع کاپوتو، خصوصاً خاصیت خطی بودن این نوع مشتقات، به محاسبه ی ماتریس های عملیاتی لژاندر و چبیشف برای مشتقات کسری می پردازیم و سپس با استفاده از روش های طیفی تاو و هم مکانی به حل معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه کسری و معادلات انتگرال-دیفرانسیل مرتبه کسری پرداخته می شود. همچنین ایده های ارایه شده در این پایان نامه را برای حل معادله تلگراف از مرتبه کسری به کار برده ایم و جواب های قابل قبولی بدست آمده است.