در فصل اول این پایان نامه، مفاهیم و تعاریف اولیه مورد نیاز را بیان نموده ایم. در فصل دوم قضایای سه نقطه بحرانی و ساختاری از مجموعه بحرانی ارائه شد که در فصل های بعدی کاربرد های آن را برای وجود جواب برای مسائل مقدار مرزی بررسی کردیم. سپس وجود سه جواب ضعیف را برای مسئله دیریکله بیضوی زیر {?(-?u=?f(x,u) in ?@u=0 on ??)? جایی که ? زیر مجموعه باز، کراندار و ناتهی از فضای اقلیدسی (r^n,|.|) ، n? 3 ، با مرز از رده c^1 ، ?یک پارامتر مثبت و f : ?×r ?r یک تابع است، را ثابت می کنیم. در خاتمه، وجود حداقل سه جواب ضعیف را برای دستگاه مقدار مرزی زیر به اثبات می رسانیم: {?(-?_p u+a(x) ?|u|?^(p-2) u=?f_u (x,u,v) in ?@-?_q v+b(x) ?|v|?^(q-2) v=?f_v (x,u,v) in ?@u=v=0 on ??)? جایی که ??r^n،) ( n ?1یک مجموعه باز، کراندار و ناتهی با مرز هموار??، p,q> n و f : ?× r^2 ?r یک تابع است به طوری که f(. ,t_1,t_2)در? ? برای هر (t_1,t_2)? r^2 پیوسته است و f(x,.,.)در r^2 برای هر x?? از رده c^1است، و f_s نشان دهنده مشتق جزئی f نسبت به s است. ?_s u=div(|?u|^(s-2) ?u)عملگر s لاپلاسین است، a,b ?l^? (?) با ?ess inf?_? a?0 و ?ess inf?_? b?0 ، و? یک پارامتر مثبت است.