پدیده های گسترش تأثیر به وفور در شبکه های اجتماعی یافت می شود.به عنوان مثال می توان از گسترش یک بیماری یا یک عقیده و رأی نام برد. برای مدل سازی این پدیده ها از نظریه ی ‎گراف و مفهومی به اسم مونوپلی دینامیک استفاده می شود.‎ ‎‎ بدین منظور شبکه ی اجتماعی با یک گراف)‎ ‎‎‎ ‎g=(v‎,e‎‎‎‎‎‎ نشان داده می شود به طوری که گراف‎‎ ‎g‎ ‎‎‎‎‎‎ دارای یک تابع آستانه ی n ?v(g)‎‎‎‎ ? روی رأس ها می باشد. فرض کنید g یک گراف با مجموعه رئوس v(g) باشد و n ?v(g)‎‎‎‎ ? تابع آستانه? منصوب به مجموعه ی v(g) باشد? زیر مجموعه ی d از مجموعه رئوس v(g) را مونوپلی دینامیک گوییم? هرگاه بتوان v(g) را به زیر مجموعه های ‎ ,‎d ,...,‎d d افراز کرد به طوری =d dوبرای هر i:1,…k-1 هر رأس مانند v در d دارای حداقل t(v‎)‎ همسایه در d . . .‎ dباشد. اندازه ی کوچکترین مونوپلی دینامیک را با dyn(g)‎‎‎‎ نمایش میدهیم.در کل این پایان نامه منظور از d مونوپلی دینامیک با کوچکترین اندازه می باشد . ‎‎ این مسأله را برای گرافها در حالت کلی مورد بررسی قرار داده و به مطالعه ی مدل ترکیبیاتی این مسئله و نتایج بدست آمده به روش ترکیبیاتی برای این موضوع می پردازیم و نیز نتایج الگوریتمی و پیچیدگی محاسبه این موضوع را بیان می کنیم.‎‎‎‎ سپس نتایج بدست آمده ‎را برای این مسئله در حالتهای خاص از جمله توابع آستانه ای متفاوت و نیز گرافهای خاص مورد بحث قرار می دهیم.‎ در فصل پایانی نتایج احتمالاتی با استفاده از روش های احتمالاتی روی مسئله‎ی مونوپلی های دینامیک را مورد مطالعه قرار می دهیم و نیز به مطالعه ی حالتی که آستانه ی رئوس به صورت تصادفی انتخاب می شود, می پردازیم.‎ ‎‎‎‎‎‎‎